2023-2024学年人教版九年级数学上册综合讲义——第四讲:一元二次方程实际应用(二)

第四讲：一元二次方程实际应用（二） 考点1、动点问题：“路程表示长度，建方程。注意限长限宽，函数分段。” 例1．（2023上·贵州贵阳·九年级校考阶段练习）如图，在中，，点Q从点A开始沿边向点B以1cm/s的速度移动，点P从点B开始沿边向点C以2cm/s的速度移动，    (1)如果P、Q两点同时出发，那么几秒后，的面积等于？ (2)的面积能否等于？试说明理由． 【详解】（1）解：设秒后，的面积等于， 由题意，得：， ∴， ∴的面积， 解得：或， 当时，，不合题意，舍去， ∴； （2）不能，理由如下： 设秒后，的面积等于， 同（1）得：的面积， 整理，得：， ∵， ∴方程无解， ∴的面积不能等于． 【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用．解题的关键是正确的识图，准确的列出一元二次方程． 变式训练： 2．（2023上·贵州毕节·九年级校考阶段练习）如图，在矩形ABCD中，AB=5cm，BC=6cm，点P从点A开始沿边AB向终点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以2cm/s的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动，设运动时间为t秒． （1）填空：BQ=__________cm，PB=_________cm；（用含t的代数式表示） （2）当t为何值时，PQ的长度等于5cm？ （3）是否存在t的值，使得五边形APQCD的面积等于26cm2？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 2．（2021上·贵州黔西·九年级统考期末）如图，在中，，，，点P从点A出发沿边AC向点C以1cm/s的速度移动，同时点Q从点C出发沿CB边向点B以2cm/s的速度移动．当Q点到达B点时，点P同时停止运动． （1）运动几秒时的面积为？ （2）的面积能否等于面积的一半？若能，求出运动时间，若不能，说明理由． 3．（2021上·贵州铜仁·九年级校考阶段练习）已知：如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=5cm，BC=7cm．点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动． （1）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于6cm2？ （2）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于5cm？ （3）在（1）中，△PQB的面积能否等于8cm2？说明理由． 考点2、一次函数与利润问题“套用公式：总利润W=单件利润×数量=（单件售价-单件进价）×数量。 例1．（2022下·广西崇左·八年级统考期中）某运动品牌销售一款运动鞋，已知每双运动鞋的成本价为60元，当售价为100元时，平均每天能售出200双；经过一段时间销售发现，平均每天售出的运动鞋数量y（双）与降低价格x（元）之间存在如图所示的函数关系． (1)求出y与x的函数关系式； (2)公司希望平均每天获得的利润达到8910元，且优惠力度最大，则每双运动鞋的售价应该定为多少？ (3)为了保证每双运动鞋的利润不低于成本价的50%，公司每天能否获得9000元的利润？若能，求出定价；若不能，请说明理由． 【详解】（1）解：设y与x的函数关系式为y＝kx＋b (k≠0)， 由图可知其函数图象经过点（0 , 200）和（10 , 300）， 将其代入y=kx+b 得 解得 ∴ y与x的函数关系式为y=10x＋200； （2）解：由题意得 （10x＋200)(100－x－60)＝8910， 整理得 x2－20x＋91＝0， 解得：x1＝7, x2＝13； 当x＝7时，售价为100－7＝93（元）， 当x＝13时，售价为100－13＝87（元）， ∵优惠力度最大， ∴取x＝13， 答：当每双运动鞋的售价为87元时，企业每天获得的销售利润达到8910元并且优惠力度最大； （3）解：公司每天能获得9000元的利润，理由如下： ∵要保证每双运动鞋的利润率不低于成本价的50%， ∴100－60－x ≥ 60×50%, 解得：x≤10； 依题意，得 (100－60－x)(10x＋200)＝9000， 整理得 x2－20x＋100＝0， 解得：x1＝x2＝10； ∴降价10元时，公司每天能获得9000元的利润，且每双运动鞋的利润不低于成本价的50%. 变式训练： 1．（2022下·山东滨州·八年级统考期末）某超市以每千克40元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量y（千克）与每千克降价x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)当每千克干果降价3元时，超市获利多少元？ (3)若超市要想获利2090元，且让顾客获得更大实惠，这种干果每千克应降价多少元？ 2．（2011上·