第02讲 平面向量的数量积及其应用（精讲）-2023-2024学年高一数学高频考点题型归纳与方法总结（人教A版2019必修第二册）

2023-2024学年高一数学高频考点题型归纳与方法总结 第02讲 平面向量的数量积及其应用（精讲） ①平面向量的数量积的运算 ②平面向量的模长问题 ③平面向量的夹角问题 ④两个向量的垂直问题 ⑤平面向量的投影数量、投影向量 ⑥平面向量数量积的综合应用 一、平面向量的数量积 （1）平面向量数量积的定义 已知两个非零向量与，我们把数量叫做与的数量积（或内积）， 记作，即=，规定：零向量与任一向量的数量积为0． 　　　　　　　　　　　　　　　 （2）平面向量数量积的几何意义 投影向量：设a，b是两个非零向量，如图(1)(2)，表示向量a，表示向量b，过点A作所在直线的垂线，垂足为点A1.我们将上述由向量a得到向量的变换称为向量a向向量b投影，向量称为向量a在向量b上的投影向量. ，向量a在向量b上的投影向量为(|a|cosθ). 二、数量积的运算律 已知向量、、和实数，则： ①； ②； ③． 三、数量积的性质 设、都是非零向量，是与方向相同的单位向量，是与的夹角，则 ①． ②． ③当与同向时，；当与反向时，． 特别地，或． ④．⑤． 四、数量积的坐标运算 已知非零向量a，b，为向量、的夹角． 结论 几何表示 模 数量积 夹角 的充要条件 的充要条件 与的关系 (当且仅当时等号成立) 【常用结论】 (1)在上的投影是一个数量，它可以为正，可以为负，也可以等于0． (2)两个向量a，b的夹角为锐角⇔a·b＞0且a，b不共线； 两个向量a，b的夹角为钝角⇔a·b＜0且a，b不共线 题型一：平面向量的数量积的运算 解题策略 【例1】（单选题）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用平面向量数量积的运算性质可求得结果. 【详解】由已知可得. 故选：A. 【例2】（单选题）在边长为1的等边△ABC中，设，，，则（    ） A． B．0 C． D．3 【答案】A 【分析】根据等边三角形的性质，得到，，，再根据向量的数量积运算，可得答案. 【详解】根据等边三角形的性质，，，， 得， 故选：A 一、单选题 1．（2023下·甘肃兰州·高一统考期末）等边三角形中，与的夹角为（    ） A． B． C． D． 2．（2023下·河南·高一校联考阶段练习）已知向量与的夹角为60°，其中，，则（    ） A．6 B．5 C．3 D．2 3．（2023下·福建莆田·高一福建省仙游县华侨中学校考阶段练习）已知是夹角为的单位向量,则（    ） A． B． C． D． 4．（2023下·河南省直辖县级单位·高一校考阶段练习）在边长为2的等边中，的值是（    ） A．4 B． C．2 D． 5．（2023下·陕西西安·高一校考期中）已知平面向量，满足，与的夹角为120°，若，则（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（2023下·山东菏泽·高一山东省鄄城县第一中学校考阶段练习）在中，，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．不能确定 7．（2023下·江苏徐州·高一统考期中）已知向量与是两个单位向量，且与的夹角为，若，，则（    ） A． B． C． D． 二、填空题 8．（2023下·福建泉州·高一校联考期中）已知，与的夹角为，则 . 9．（2023下·福建厦门·高一厦门一中校考阶段练习）是边长为2的等边三角形，已知向量，满足，，则 ． 10．（2024·全国·高一假期作业）已知边长为1的菱形中，角，则 . 题型二：平面向量的模长问题 解题策略 1．利用坐标运算证明两个向量的垂直问题 若证明两个向量垂直，先根据共线、夹角等条件计算出这两个向量的坐标；然后根据数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为0即可． 2．已知两个向量的垂直关系，求解相关参数的值 根据两个向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数． 【例1】（单选题）已知，，且与的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用平面向量数量积的运算性质可求得的值. 【详解】因为，，且与的夹角为， 由平面向量数量积的定义可得， 因此，. 故选：A. 一、单选题 1．（2023下·安徽芜湖·高一安徽省无为襄安中学校考期中）已知，，且与的夹角为，则 （    ） A．1 B． C． D． 2．（2023·全国·高一专题练习）已知平面向量与的夹角为，若，，则（    ） A．2 B．3 C． D．4 3．（2024上·浙江宁波·高一镇海中学校考期末）已知，，且，的夹角为，则（    ） A．1 B． C．2 D． 4．（2023下·甘肃兰州·高一统考期中）已知非零向量的夹角为6