5.2.1 基本初等函数的导数-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义教师用书（人教A版2019）

5.2　导数的运算 5.2.1　基本初等函数的导数 [学习目标]　1.能根据定义求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝的导数．　2.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数． 知识点　基本初等函数的导数公式 1．回顾之前所学，你学过哪些基本初等函数？ 提示：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数． 2．如何求常函数f(x)＝c的导数？ 提示：因为＝＝＝0， 所以f′(x)＝ ＝0＝0，即(c)′＝0. 我们通过同样的方法容易得到几个常见的幂函数的导数： f(x)＝x⇒f′(x)＝1＝1x1－1； f(x)＝x2⇒f′(x)＝2x＝2x2－1； f(x)＝x3⇒f′(x)＝3x2＝3x3－1； f(x)＝＝x－1⇒f′(x)＝－x－2＝－x－1－1； f(x)＝＝x⇒f′(x)＝x－＝x－1.通过观察上面几个式子，我们发现了这几个幂函数的规律，即(xα)′＝αxα－1. 基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0 f(x)＝xα(α∈Q，且α≠0) f′(x)＝αxα－1 f(x)＝sin x f′(x)＝cos x f(x)＝cos x f′(x)＝－sin x f(x)＝ax(a＞0，且a≠1) f′(x)＝axln a f(x)＝ex f′(x)＝ex f(x)＝logax (a＞0，且a≠1) f′(x)＝ f(x)＝ln x f′(x)＝ [微提醒]　对于根式f(x)＝ ，要先转化为f(x)＝x，所以f′(x)＝x. 求下列函数的导数： (1)y＝x－3；(2)y＝3x；(3)y＝ ； (4)y＝log5x；(5)y＝cos(－x)；(6)y＝sin； (7)y＝ln x；(8)y＝ex. 解析：　(1)y′＝－3x－4. (2)y′＝3x ln 3. (3)y＝ ＝ ＝x，所以y′＝x－. (4)y′＝. (5)y＝sin x，y′＝cos x. (6)y′＝0. (7)y′＝. (8)y′＝ex. 学生用书第53页 方法技巧 求简单函数的导函数的两种基本方法 1．用导数的定义求导，但运算比较繁杂． 2．用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难度．解题时根据所给问题的特征，将题中函数的结构进行调整，再选择合适的求导公式． 即时练1.求下列函数的导数： (1)y＝x0(x≠0)； (2)y＝x； (3)y＝lg x； (4)y＝； (5)y＝2cos2－1. 解析：　(1)y′＝0. (2)y′＝xln＝－xln 3. (3)y′＝. (4)因为y＝＝x，所以y′＝′＝x＝. (5)因为y＝2cos2－1＝cos x， 所以y′＝(cos x)′＝－sin x. 应用一　利用导数公式求切线方程 已知曲线y＝，求：曲线上与直线y＝2x－4平行的切线方程． 解析：　设切点为(x0，y0)，由y＝得y′|x＝x0＝.因为切线与y＝2x－4平行，所以＝2， 所以x0＝，所以y0＝，所以切点为. 则所求切线方程为y－＝2，即16x－8y＋1＝0. [变式探究] 1．(变条件)若本例中“曲线y＝”变为“y＝ln x”，如何求解？ 解析：　因为直线y＝2x－4的斜率为k＝2， 又因为y′＝(ln x)′＝，所以＝2，解得x0＝. 所以切点的坐标为. 故切线方程为y＋ln 2＝2. 即2x－y－1－ln 2＝0. 2．(变设问)若本例条件不变，求过点P(0，1)且与曲线相切的切线方程． 解析：　设切点P1(x1，)， 则切线斜率为k＝， 所以切线方程为y－＝(x－x1)， 又切线过点P(0，1)， 所以1－＝(－x1)，即＝2，x1＝4. 所以切线方程为y－2＝(x－4)，即x－4y＋4＝0. 方法技巧 利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况 1．若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数． 2．如果已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解． 即时练2.若直线y＝x＋b与曲线y＝ex相切于点P，求切点P的坐标及b的值． 解析：　设P(x0，y0)，由题意可知y′|x＝x0＝ex0， 所以e x0＝1，即x0＝0，所以点P(0，1)． 由点P(0，1)在直线y＝x＋b上可知b＝1. 学生用书第54页 应用二　基本初等函数导数公式的综合应用 某城市近10年间房价年均上涨率为10%，房价p(单位：万元)与时间t(单位：年)有如下函数关系：p(t)＝p0(1＋10%)t，假定p0＝1，那么在第5个年头，房价上涨的速度大约是多少？(结果精确到0.01万元/年，参考数据：1.15≈1.611，ln 1.1≈0.095) 解析：　由题意得p′(t)＝1.1tln 1.1， 所以p′(5)＝1.15ln 1.1≈