5.1.2 导数的概念及其几何意义-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义教师用书（人教A版2019）

5.1.2　导数的概念及其几何意义 [学习目标]　1.理解导数的概念，知道函数的瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵．　2.会求函数在某点处的导数．　3.理解曲线的切线的含义，通过函数的图象直观地理解导数的几何意义，并会求曲线的切线方程． 知识点一　导数的概念 瞬时变化率的几何意义是什么？它的数学意义又是什么？ 提示：瞬时变化率的几何意义是曲线的切线斜率．实际上，上节课我们通过研究抛物线的切线斜率就大致了解了瞬时变化率在数学中的意义． 1．平均变化率 对于函数y＝f(x)，设自变量x从x0变化到x0＋Δx，相应地，函数值y就从f(x0)变化到f(x0＋Δx)．这时，x的变化量为Δx，y的变化量为Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)．我们把比值，即＝叫做函数y＝f(x)从x0到x0＋Δx的平均变化率． 2．导数 如果当Δx→0时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有极限，则称y＝f(x)在x＝x0处可导，并把这个确定的值叫做y＝f(x)在x＝x0处的导数(也称为瞬时变化率)，记作f′(x0)或y′，即f′(x0)＝ ＝ . [微提醒]　对导数概念的再理解 (1)函数应在点x0的附近有定义，否则导数不存在． (2)导数是一个局部概念，它只与函数y＝f(x)在x＝x0及其附近的函数值有关，与Δx无关． (3)导数的实质是一个极限值． (1)已知f(x)＝x2＋3，求f(x)在x＝1处的导数； (2)求函数y＝在x＝2处的导数． 解析：　(1)因为＝＝＝2＋Δx， f′(1)＝ ＝ (2＋Δx)＝2. (2)因为Δy＝－＝－1＝－， 所以＝－. 所以f′(2)＝ ＝－ ＝－1. 方法技巧 第一步：求函数的增量，Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)； 第二步：求平均变化率，＝； 第三步：取极限，得导数，f′(x0)＝ . 简记为：一差，二比，三极限． 即时练1.已知函数y＝x2＋＋5，若该函数在x＝a处的导数为0，试求a的值． 解析：　当x＝a时，Δy＝(a＋Δx)2＋＋5－(a2＋＋5) ＝2a·Δx＋(Δx)2＋，所以＝2a＋Δx－，所以 ＝ (2a＋Δx－)＝2a－，所以2a－＝0，解得a＝. 学生用书第49页 知识点二　导数的几何意义 导数f′(x0)的几何意义是什么？ 提示：我们知道导数f′(x0)表示函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率，反映了函数y＝f(x)在x＝x0附近的变化情况，如下图． 容易发现，平均变化率＝表示的是割线P0P的斜率，当P点沿着曲线无限趋近于P0点时，割线P0P无限趋近于一个确定的位置，这个确定的位置的直线P0T称为曲线y＝f(x)在点P0处的切线，因此函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)就是切线P0T的斜率k0，即k0＝ ＝f′(x0)，这就是导数的几何意义． 　　函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率．也就是说，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率是f′(x0)．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)． 已知曲线C：y＝x3. (1)求曲线C在横坐标为x＝1的点处的切线方程； (2)求曲线C过点P(1，1)的切线方程． 解析：(1)将x＝1代入曲线C的方程得y＝1， 所以切点P(1，1)．y′|x＝1＝ ＝ ＝[3＋3Δx＋(Δx)2]＝3. 所以k＝y′|x＝1＝3. 所以曲线在点P(1，1)处的切线方程为y－1＝3(x－1)，即3x－y－2＝0. (2)设切点为Q(x0，y0)，由(1)可知y′|x＝x0＝3x20，由题意可知kPQ＝y′|x＝x0， 即＝3x20，又y0＝x30，所以＝3x20，即2x30－3x20＋1＝0，解得x0＝1或x0＝－. ①当x0＝1时，切点坐标为(1，1)，相应的切线方程为3x－y－2＝0. ②当x0＝－时，切点坐标为，相应的切线方程为y＋＝，即3x－4y＋1＝0. [变式探究] 1．(变条件)本例中条件“y＝x3”改为“y＝x2”，求曲线在x＝1处的切线方程． 解析：y′|x＝1＝ ＝ (Δx＋2)＝2，所以k＝2.故切线方程为2x－y－1＝0. 2．(变条件、变设问)求曲线y＝x2＋1过点P(1，0)的切线方程． 解析：设切点为Q(a，a2＋1)， k＝ ＝ (2a＋Δx)＝2a， 所以在点Q处的切线方程为y－(a2＋1)＝ 2a(x－a)，(*) 把点(1，0)代入(*)式得－(a2＋1)＝2a(1－a)． 解得a＝1±. 再把a＝1±代入到(*)式中．即得切线方程为y＝(2＋2)x－(2＋2)或y＝(2－2)x－(2－2)． 方法技巧 1.利用导数的几何意义求曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程的步骤 (1)求函