5.1.1 变化率问题-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义教师用书（人教A版2019）

5.1　导数的概念及其意义 5.1.1　变化率问题 [学习目标]　1.通过实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，理解函数的平均变化率和瞬时变化率的意义，会求具体函数的平均变化率和函数在某点处的瞬时变化率．　2.了解函数的平均变化率与曲线的割线斜率之间的关系，理解曲线的切线的概念．　3.体会极限思想． 知识点一　平均速度 在高台跳水中，运动员相对于水面的高度h与起跳后的时间t存在函数关系h(t)＝－4.9t 2＋6.5t＋10，你能求该运动员在0≤t≤0.5，1≤t≤2，0≤t≤内的平均速度吗？ 提示：0≤t≤0.5时，＝＝4.05(m/s)； 1≤t≤2时，＝＝－8.2(m/s)；0≤t≤时，＝＝0(m/s)；虽然运动员在0≤t≤这段时间里的平均速度是0 m/s，但实际情况是，该运动员仍在运动，可以说明平均速度不能精确描述运动员的运动状态． 　平均速度：物体的位移与所用时间的比值，通常指物体在某一时间段的速度．若物体运动的位移与时间的关系式是s＝f(t)，函数f(t)在t0与t0＋Δt之间的平均速度是. [微提醒]　Δt可正，可负，但不能为0. 某物体运动的位移s与时间t之间的函数关系式为s(t)＝sin t，t∈. (1)分别求s(t)在区间和上的平均速度； (2)比较(1)中两个平均速度的大小，说明其几何意义． 解析：(1)物体在区间上的平均速度为1＝＝＝＝. 物体在区间上的平均速度为2＝＝＝. (2)由(1)知1－2＝＞0，所以2＜1，作出函数s(t)＝sin t在上的图象，如图所示，可以发现，s(t)＝sin t在上随着t的增大，函数值s(t)变化得越来越慢． 方法技巧 求物体运动的平均速度的三个步骤 第一步：求时间的改变量x 2－x 1； 第二步：求位移的改变量f(x 2)－f(x 1)； 第三步：求平均速度＝. 即时练1.某质点运动的方程为f(x)＝－2x2＋1(x表示时间，f(x)表示位移)，则该质点从x＝1到x＝2的平均速度为(　　) A．－4 B．－8 C．6 D．－6 D　[由题得该质点从x＝1到x＝2的平均速度为＝＝－6.故选D.] 学生用书第45页 知识点二　瞬时速度 我们也发现了高速路上区间测速的弊端，因为如果某人发现超速了，他只需踩下刹车，让车辆低速行驶一段时间即可，你认为，我们应该如何改进高速路上的区间测速问题？ 提示：由＝可知，我们可以减小路程区间的长度，在最小路程下，看所用的时间，或者在较少的相同时间内，看汽车所经过的路程，这样似乎都不可避免违法行为的产生，于是，我们有了一个大胆的想法，如果我们能测量汽车的瞬时速度就好了．我们把函数值的增量f(t2)－f(t1)记为Δy，即Δy＝f(t2)－f(t1)，自变量的增量t2－t1记为Δt，即Δt＝t2－t1，这里的Δt可以看成是t1的一个增量，可用t1＋Δt来表示t2，则平均变化率可记为＝＝，我们发现如果时间的增量Δt无限小，此时在极短的时间内的平均速度就可近似等于在时间t＝t1的瞬时速度，这就需要用到数学中的“极限”思想，意思就是让Δt无限趋近于0. 　瞬时速度：我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度．若物体运动的位移与时间的关系式是s＝f(t)，当Δt趋近于0时，函数f(t)在t0与t0＋Δt之间的平均变化率趋近于常数，我们把这个常数叫做物体在t0时刻的瞬时速度．即 ＝ . [微提醒]　(1)“Δt→0”读作Δt趋近于0，是指时间间隔越来越短，能越过任意小的时间间隔，即|Δt|要多小就有多小，其含义是可以小于任何预先给定的正数，但Δt始终不能为零．(2)Δt，Δs在变化中都趋近于0，其比值趋近于一个确定的常数，此时该常数才称为t0时刻的瞬时速度． 某物体的运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数s(t)＝t2＋t＋1表示，求物体在t＝1 s时的瞬时速度． 解析：　因为＝＝＝3＋Δt. 所以 ＝(3＋Δt)＝3. 所以物体在t＝1处的瞬时变化率为3. 即物体在t＝1 s时的瞬时速度为3 m/s. [变式探究] 1．(变设问)在本例条件不变的前提下，试求物体的初速度． 解析：　求物体的初速度，即求物体在t＝0时的瞬时速度． 因为＝＝1＋Δt， 所以(1＋Δt)＝1. 所以物体的初速度为1 m/s. 2．(变设问)若本例条件不变，试求该物体在哪一时刻的瞬时速度为9 m/s. 解析：　设物体在t0时刻的瞬时速度为9 m/s. 又＝(2t0＋1)＋Δt，(2t0＋1＋Δt)＝2t0＋1，则2t0＋1＝9，所以t0＝4. 则物体在4 s时的瞬时速度为9 m/s. 方法技巧 求瞬时速度的步骤 第一步：求物体运动位移与时间的关系s＝s(t)； 第二步：求时间变化量Δt，位移变化量Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)；