4.3.1 第2课时 等比数列的性质及应用-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义教师用书（人教A版2019）

第2课时　等比数列的性质及应用 [学习目标]　1.能根据等比数列的定义推出等比数列的性质，并能运用这些性质简化运算．　2.灵活应用等比数列通项公式的推广形式及变形． 知识点　等比数列的性质 1．结合我们所学，你能类比等差数列、等比数列的通项公式的结构特点及运算关系吗？ 提示： 等差数列 等比数列 定义 如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列 如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列 符号 表示 an－an－1＝d(n≥2，n∈N*) ＝q(n≥2，n∈N*) 通项 公式 an＝a1＋(n－1)d an＝a1qn－1 类比 差⇒商；和⇒积，积⇒乘方 性质 等差数列首项a1，公差d 等比数列首项a1，公比q 把等差数列前k项去掉，得到一个以ak＋1为首项，以d为公差的等差数列 把等比数列前k项去掉，得到一个以ak＋1为首项，以q为公比的等比数列 等差数列中，ak，ak＋m，ak＋2m…是公差为md的等差数列 等比数列中，ak，ak＋m，ak＋2m…是公比为qm的等比数列 等差数列中任意一项加上同一个常数，构成一个公差不变的等差数列 等比数列中任意一项同乘一个非零常数，构成一个公比不变的等比数列 两个等差数列相加，还是一个等差数列 两个等比数列相乘，还是一个等比数列 2．结合上面的类比，你能把等差数列里面的an＝am＋(n－m)d类比出等比数列中相似的性质吗？ 提示：　类比可得an＝amqn－m；由等比数列的定义可知an＝a1qn－1，am＝a1qm－1，两式相除可得＝＝q(n－1)－(m－1)＝qn－m，即an＝amqn－m. 3．结合上面的类比，你能把等差数列里面的am＋an＝ak＋al类比出等比数列中相似的性质吗？ 提示：　类比可得aman＝akal，其中m＋n＝k＋l，m，n，k，l∈N*. 推导过程：am＝a1qm－1，an＝a1qn－1，ak＝a1qk－1，al＝a1ql－1，所以aman＝a1qm－1·a1qn－1＝aqm＋n－2，akal＝a1qk－1·a1ql－1＝aqk＋l－2， 因为m＋n＝k＋l，所以有aman＝akal. 1．{an}是等比数列，首项为a1，公比为q，则an＝a1qn－1，an＝am·qn－m(m，n∈N*)． 2．对于无穷等比数列{an}，若将其前k项去掉，剩余各项仍为等比数列，首项为ak＋1，公比为q；若取出所有的k的倍数项，组成的数列仍为等比数列，首项为ak，公比为qk． 3．在等比数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am·an＝ap·aq． (1)特别地，当m＋n＝2k(m，n，k∈N*)时，am·an＝a；当m＋n＋s＝p＋q＋t(m，n，p，q，s，t∈N*)时，amanas＝apaqat. (2)对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即a1·an＝a2·an－1＝…＝ak·an－k＋1＝…. 4．若数列{an}，{bn}均为等比数列，c为不等于0的常数，则数列{can}，{a}，{an·bn}，也为等比数列． [微提醒]　在构造新的等比数列时，要注意新数列中有的项是否为0，比如公比q＝－1时，连续相邻偶数项的和都是0，故不能构成等比数列． 已知{an}为等比数列． (1)若an＞0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，求a3＋a5； (2)若an＞0，a5a6＝9，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值． 解析：　(1)a2a4＋2a3a5＋a4a6＝a＋2a3a5＋a ＝(a3＋a5)2＝25， 因为an＞0，所以a3＋a5＞0，所以a3＋a5＝5. (2)根据等比数列的性质，得 a5a6＝a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝9， 所以a1a2…a9a10＝(a5a6)5＝95， 所以log3a1＋log3a2＋…＋log3a10 ＝log3(a1a2…a9a10)＝log395＝10. [变式探究] 1．(变条件，变设问)在本例(1)中，添加条件a1a7＝4，求an. 解析：　由等比数列的性质得a1a7＝a3a5＝4，又由本例(1)知a3＋a5＝5，解得a3＝1，a5＝4或a3＝4，a5＝1，若a3＝1，a5＝4，则q＝2，an＝2n－3； 若a3＝4，a5＝1，则q＝，an＝25－n. 学生用书第26页 2．(变条件)把本例(2)的条件改为“公比为3，a1a2a3…a30＝3300”，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值． 解析：　a1a2a3…a30＝(a1a2a3…a10)·q100(a1a2a3…a10)·q20