4.3.1 第1课时 等比数列的概念及通项公式-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义教师用书（人教A版2019）

4.3　等比数列 4.3.1　等比数列的概念 第1课时　等比数列的概念及通项公式 [学习目标]　1.通过生活中的实例，理解等比数列、等比中项的概念．　2.根据等比数列的定义能推导出等比数列的通项公式，并能够运用等比数列的通项公式解决简单的数学问题．　3.体会等比数列与指数函数的关系．　4.掌握等比数列的判断及证明方法． 知识点一　等比数列的概念 　观察下面几个问题中的数列，回答后面的问题． (1)我国古代数学名著《孙子算经》中有一个有趣的问题叫“出门望九堤”：“今有出门望九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雏，雏有九毛，毛有九色，问各有几何？” 构成数列：9，92，93，94，95，96，97，98； (2)《庄子·天下》中提到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，这句话中隐藏着一列数：1，，，，，，…； (3)－的n次幂按1次幂、2次幂、3次幂…，依次排成一列数：－，，－，，…； 类比等差数列的研究，你认为可以通过怎样的运算发现以上数列的取值规律？ 提示：　我们可以通过除法运算探究以上数列的取值规律．对于(1)我们发现＝9，＝9，＝9，…，也就是说从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于9；对于(2)＝，…；对于(3)＝－，…；也有相同的取值规律． 学生用书第22页 等比数列的概念 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)． [微提醒]　(1)定义的符号表示：＝q(n∈N*且n≥2)或＝q(n∈N*)． (2)定义强调“从第2项起”，因为第一项没有前一项． (3)比必须是同一个常数． (4)等比数列中任意一项都不能为0. (5)公比可以为正数、负数，但不能为0. 判断下列数列是否是等比数列，如果是，写出它的公比： (1)1，，，，，…； (2)，，，，…； (3)1，0，1，0，1，0，…； (4)1，－4，16，－64，256，…； (5)a，a，a，a，a，…. 解析：　(1)不是等比数列；(2)是等比数列，公比为；(3)不是等比数列；(4)是等比数列，公比为－4；(5)当a＝0时，不是等比数列，当a≠0时是等比数列，公比为1. 方法技巧 判断一个数列是否为等比数列的方法 　　定义法：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列是等比数列，否则，不是等比数列，且等比数列中任意一项不能为0，对于含参数的数列需要分类讨论． 即时练1.以下条件中，能判定数列是等比数列的有(　　) ①数列1，2，6，18，…； ②数列{an}中，已知＝2，＝2； ③常数列a，a，…，a，…； ④数列{an}中，＝q(q≠0)，其中n∈N*. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 A　[①中，数列不符合等比数列的定义，故不是等比数列；②中，前3项是等比数列，多于3项时，无法判定，故不能判定是等比数列；③中，当a＝0时，不是等比数列；④中，数列符合等比数列的定义，是等比数列．故选A.] 知识点二　等比中项 我们知道，任意两个实数都有等差中项，那么，任意两个实数是否也有等比中项？ 提示：　不是，首先，0不能出现在等比数列中，就没有任意性；其次，假设－1，x，1这三个数成等比数列，则根据定义会有＝，即x2＝－1，该方程无实数解，故符号不同的两个实数也无等比中项．若1，x，4这三个数成等比数列，由定义可知，x2＝4，即x＝±2；或－1，x，－4这三个数成等比数列，由定义可知，x2＝4，即x＝±2，我们发现，如果两个实数有等比中项，则会有两个，且互为相反数． 　　等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，此时，G2＝ab． [微提醒]　(1)若G2＝ab，则a，G，b不一定成等比数列． (2)只有同号的两个实数才有等比中项． (3)若两个实数有等比中项，则一定有两个，它们互为相反数． (1)已知等比数列的前3项依次为x，2x＋2，3x＋3，求实数x的值． (2)已知等比数列{an}，a2a3a4＝64，a3＋a6＝36，求a1和a5的等比中项． 解析：　(1)因为等比数列的前3项依次为x，2x＋2，3x＋3，所以x(3x＋3)＝(2x＋2)2，解得x＝－1或x＝－4. 又因为当x＝－1时，2x＋2＝3x＋3＝0不合题意，所以实数x的值为－4. (2)因为{an}是等比数列，所以a3是a2和a4的等比中项，即a＝a2a4，所以a＝64，解得a3＝4，从而a6＝32. 设{an}的公比为q，则 解得 所以a5＝a1q4＝16. 设a1和a5的等比中项为G，则G2＝a1a5＝16，所以G＝±4，故a1和a5的等比中项是±4. 学生用书第23页 方法