4.2.1 第2课时 等差数列的性质与实际应用-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义教师用书（人教A版2019）

第2课时　等差数列的性质与实际应用 [学习目标]　1.能根据等差数列的定义推出等差数列的常用性质．　2.能运用等差数列的性质简化计算．　3.能根据实例抽象出等差数列进行简单的应用． 知识点　等差数列的性质 1．如果{an}是等差数列，a3＝5，d＝2，如果不求首项，你能求数列的通项公式吗？ 提示：　由定义可知a3＝a1＋2d，an＝a1＋(n－1)d，两式相减得an－a3＝(n－3)d，即an＝a3＋(n－3)d. 2．若数列{an}是等差数列，公差为d，m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am，an，ap，aq这四项之间有什么样的关系？ 提示：　由等差数列的定义可知，am＝a1＋(m－1)·d，an＝a1＋(n－1)d，ap＝a1＋(p－1)d，aq＝a1＋(q－1)d，容易发现am＋an＝2a1＋(m＋n－2)d，ap＋aq＝2a1＋(p＋q－2)d，因为m＋n＝p＋q，故有am＋an＝ap＋aq. 3．若数列{an}是等差数列，首项为a1，公差为d，在{an}中每相邻两项之间都插入4个数，若要使之构成一个新的等差数列，你能求出它的公差吗？ 提示：　设新数列为{bn}，公差为d′，则有b1＝a1，b6＝a2，所以b6－b1＝a2－a1＝d，故有5d′＝d，所以d′＝d. 1．设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则 (1)an＝dn＋(a1－d)(n∈N*)； (2)an＝am＋(n－m)d(m，n∈N*)； (3)d＝(m，n∈N*，且m≠n)． 2．下标性质：在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq． 特别地，若m＋n＝2p(m，n，p∈N*)，则有am＋an＝2ap． 3．若{an}，{bn}分别是公差为d，d′的等差数列，则有 数列 结论 {c＋an} 公差为d的等差数列(c为任一常数) {c·an} 公差为cd的等差数列(c为任一常数) {an＋an＋k} 公差为2d的等差数列(k为常数，k∈N*) {pan＋qbn} 公差为pd＋qd′的等差数列(p，q为常数) 学生用书第12页 4．若{an}是公差为d的等差数列，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)组成公差为md的等差数列． [微提醒]　(1)推广：若m＋n＋p＝x＋y＋z，则am＋an＋ap＝ax＋ay＋az.该性质要求下标的和相等，且左右两侧项数相同． (2)在有穷等差数列中，与首末两项等距离的两项之和都相等，即a1＋an＝a2＋an－1＝…. (3)若an＝m，am＝n(n≠m)，则an＋m＝0.(证明：＝，即＝，＝－1，故an＋m＝0) 已知{an}为等差数列，a15＝8，a60＝20，求a75. 解析：　法一：(利用an＝am＋(n－m)d) 设数列{an}的公差为d， 则a60＝a15＋(60－15)d＝8＋45d， 所以d＝＝＝， 所以a75＝a60＋(75－60)d＝20＋15×＝24. 法二：(利用隔项成等差数列) 因为{an}为等差数列， 所以a15，a30，a45，a60，a75也成等差数列， 设其公差为d，a15为首项，则a60为第四项， 所以a60＝a15＋3d，解得d＝4， 所以a75＝a60＋d＝24. (1)已知数列{an}是等差数列，若a1－a9＋a17＝7，则a3＋a15等于(　　) A．7 B．14 C．21 D．7(n－1) (2)已知数列{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，那么数列{an＋bn}的第37项为(　　) A．0 B．37 C．100 D．－37 解析：　(1)因为a1－a9＋a17＝(a1＋a17)－a9＝2a9－a9＝a9＝7，所以a3＋a15＝2a9＝2×7＝14.故选B. (2)设等差数列{an}，{bn}的公差分别为d1，d2，则(an＋1＋bn＋1)－(an＋bn)＝(an＋1－an)＋(bn＋1－bn)＝d1＋d2，所以数列{an＋bn}仍然是等差数列．又d1＋d2＝(a2＋b2)－(a1＋b1)＝100－(25＋75)＝0，所以a37＋b37＝a1＋b1＝100.故选C. 答案：　(1)B　(2)C [变式探究]　(变条件、变设问)若本例(1)改为在等差数列{an}中，a3＋a7＋2a15＝40，则a10＝________． 解析：　法一：设数列{an}的公差为d， 则a3＋a7＋2a15＝a1＋2d＋a1＋6d＋2(a1＋14d) ＝4a1＋36d＝4(a1＋9d)＝4a10＝40， 所以a10＝10. 法二：因为a3＋a7＋2a15＝a3＋a7＋a15＋a15＝a10＋a10＋a10＋a10＝40， 所以a10＝10. 答案：　10 方法技巧 1．灵活利