4.2.1 第1课时 等差数列的概念及通项公式-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义教师用书（人教A版2019）

4.2　等差数列 4.2.1　等差数列的概念 第1课时　等差数列的概念及通项公式 [学习目标]　1.理解等差数列、等差中项的概念．　2.掌握等差数列的通项公式，并能运用通项公式解决一些简单的问题．　3.体会等差数列与一元一次函数的关系． 知识点一　等差数列的概念 观察下面几个问题中的数列，回答下面的问题． ①在过去的300多年里，人们记下了哈雷彗星出现的时间(年)：1682，1758，1834，1910，1986. ②我国确定鞋号的脚长值以毫米为单位来表示，常用的确定鞋号脚长值按从大到小的顺序可排列为：275，270，265，260，255，250，… ③为增强体质，学校增加了体育训练的项目，下面记录了班内5名男生1分钟内引体向上的个数：10，10，10，10，10. 以上数列有什么共同特征？你能预测一下哈雷彗星下一次出现的时间吗？ 提示：　对于①，我们发现1 758－1 682＝76，1 834－1 758＝76，1 910－1 834＝76，1 986－1 910＝76，也就是说该数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，于是我们可以大胆预测下一次哈雷彗星出现的时间应该是1 986＋76＝2 062.对于②有270－275＝－5…；对于③，10－10＝0，有同样的取值规律． 等差数列的概念 1．文字语言：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示． 2．符号表示：an－an－1＝d(n≥2，n∈N*)或 an＋1－an＝d(n∈N*)，其中d为常数． [微提醒]　(1)“从第2项起”是因为首项没有“前一项”． (2)一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差即使等于常数，这个数列也不一定是等差数列，因为当这些常数不同时，该数列不是等差数列，因此定义中强调“同一个常数”，注意不要漏掉这一条件． (3)公差可以是正数、负数、零． (4)求公差d时，可以用d＝an－an－1来求，也可以用d＝an＋1－an来求．注意公差是每一项与其前一项的差，且用d＝an－an－1求公差时，要求n≥2，n∈N*. 判断下列数列是否为等差数列： (1)在数列{an}中an＝3n＋2； (2)在数列{an}中an＝n2＋n. 解析：　(1)an＋1－an＝3(n＋1)＋2－(3n＋2)＝3(n∈N*)．由n的任意性知，这个数列为等差数列． (2)an＋1－an＝(n＋1)2＋(n＋1)－(n2＋n)＝2n＋2，不是常数，所以这个数列不是等差数列． 　　方法技巧 判断一个数列是不是等差数列，就是判断该数列的每一项减去它的前一项的差是否为同一个常数，但数列项数较多或是无穷数列时，逐一验证显然不行，这时可以验证an＋1－an(n∈N*)是不是一个与n无关的常数． 即时练1.判断下列数列是否是等差数列．如果是，写出它的公差： (1)2，3，5，8，12，…； (2)7，7，7，…； (3)1，－1，1，－1，…； (4)8，7，7，6，6，…. 解析：　由等差数列的定义可知，数列(1)、(3)不是等差数列，因为从第2项起，每一项与前一项的差不是同一个常数；数列(2)、(4)是等差数列，公差分别是0，－. 学生用书第9页 知识点二　等差中项 由等差数列的定义可知，如果1，x，3这三个数是等差数列，你能求出x的值吗？ 提示：　由定义可知x－1＝3－x，即2x＝1＋3，x＝2. 　　由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列．这时，A叫做a与b的等差中项，且2A＝a＋b． [微提醒]　(1)任意两个实数都有等差中项，且唯一．(2)等差中项的几何意义是两个实数的平均数，即A＝.(3)a3是a1和a5的等差中项． 在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c，使这五个数成等差数列，求此数列． 解析：　因为－1，a，b，c，7成等差数列， 所以b是－1与7的等差中项， 所以b＝＝3. 又a是－1与3的等差中项，所以a＝＝1. 又c是3与7的等差中项，所以c＝＝5. 所以该数列为－1，1，3，5，7. 　　方法技巧 等差中项的应用策略 1．求两个数x，y的等差中项，根据等差中项的定义得A＝. 2．证明三项成等差数列，只需证明中间一项为两边两项的等差中项即可，即若a，b，c成等差数列，则a＋c＝2b；反之，若a＋c＝2b，则a，b，c成等差数列． 即时练2.已知m和2n的等差中项是4，2m和n的等差中项是5，则2m－n和2n－m的等差中项是(　　) A．8 B．6 C．4.5 D．3 D　[因为m＋2n＝8，2m＋n＝10， 所以3m＋3n＝18，所以m＋n＝6， 所以2m－n和2n－m的等差中项是＝＝3.故选D.] 知识点三　等差数列的通项公