4.1 第2课时 数列的递推公式-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义教师用书（人教A版2019）

第2课时　数列的递推公式 [学习目标]　1.理解递推公式的含义，能根据递推公式求出数列的前几项．　2.了解用累加法、累乘法求通项公式．　3.会由数列的前n项和Sn求数列的通项公式． 知识点一　数列的递推公式 如图所示，有三根棒和套在一根棒上的n个金属片，按下列规则，把金属片从一根棒上全部移到另一根棒上． (1)每次只能移动一个金属片； (2)在每次移动过程中，每根棒上较大的金属片不能放在较小的金属片上面． 将n个金属片从1号棒移到3号棒最少需要移动的次数记为an，你能发现an与an＋1之间的关系吗？ 提示：　其实把n＋1个金属片从1号棒移到3号棒，只需3步即可完成，第一步：把最大金属片上面的n个金属片移到2号位，需要an步；第二步：把最大的金属片移到3号位，需要1步；第三步：把2号位上的n个金属片移到3号位，需要an步，故an＋1＝2an＋1. 1．定义 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式． 2．两个条件 (1)已知数列的第1项(或前n项)； (2)从第二项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示． [微提醒]　(1)通项公式反映的是an与n之间的关系． (2)常见的递推关系一般是数列任意两个或三个相邻项之间的推导关系，需要知道首项或前几项，即可求数列中的每一项． 若数列{an}满足a1＝2，an＋1＝，n∈N*，求a6. 解析：　a2＝＝＝－3， a3＝＝＝－， a4＝＝＝， a5＝＝＝2， a6＝＝＝－3. [变式探究]　(变设问)在例1的条件下，求a2 023. 解析：　由例1知，a5＝2＝a1，a6＝－3＝a2，…， 所以{an}是周期为4的周期数列， 所以a2 023＝a4×505＋3＝a3＝－. 方法技巧 由递推公式写出数列的项的方法 1．根据递推公式写出数列的前几项，首先要弄清楚公式中各部分的关系，依次代入计算即可． 2．若知道的是末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式． 3．若知道的是首项，通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式 即时练1.已知数列{an}满足a1＝3，an＋1＝2an＋1，写出数列的前6项． 解析：　因为a1＝3，an＋1＝2an＋1， 所以a2＝2×3＋1＝7，a3＝2×7＋1＝15， a4＝2×15＋1＝31，a5＝2×31＋1＝63， a6＝2×63＋1＝127. 学生用书第6页 知识点二　数列的前n项和 如果已知某数列的前n项和Sn＝n2＋n，如何求a4? 提示：　a4＝S4－S3＝(42＋4)－(32＋3)＝8. 1．定义 数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn＝a1＋a2＋…＋an． 2．数列的前n项和公式 (1)如果数列{an}的前n项和Sn与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式； (2)显然S1＝a1，而Sn－1＝a1＋a2＋…＋an－1(n≥2)，于是我们有an＝ [微提醒]　(1)注意等式成立的条件． (2)一定要检验n＝1时，S1是否满足首项． (3)若Sn与an的关系式较复杂，可分别写出Sn与Sn－1，然后作差求得． 设Sn为数列{an}的前n项和，Sn＝2n2－30n.求a1及an. 解析：　因为Sn＝2n2－30n， 所以当n＝1时，a1＝S1＝2×12－30×1＝－28， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2－30n－[2(n－1)2－30(n－1)]＝4n－32. 验证当n＝1时上式成立，所以an＝4n－32，n∈N*. [变式探究]　(变条件)将本例的条件“Sn＝2n2－30n”改为“Sn＝2n2－30n＋1”，其他条件不变，求a1及an. 解析：　因为Sn＝2n2－30n＋1， 所以当n＝1时，a1＝S1＝2×12－30×1＋1＝－27， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2－30n＋1－[2(n－1)2－30(n－1)＋1]＝4n－32. 当n＝1时不符合上式． 所以an＝ 　　方法技巧 由Sn求通项公式an的步骤 第一步：当n＝1时，a1＝S1. 第二步：当n≥2时，根据Sn写出Sn－1，化简an＝Sn－Sn－1. 第三步：如果a1也满足当n≥2时，an＝Sn－Sn－1的通项公式，那么数列{an}的通项公式为an＝Sn－Sn－1；否则数列{an}的通项公式要分段表示为 an＝ 即时练2.已知Sn是数列{an}的前n项和，根据条件求an. (1)Sn＝2n2＋3n＋2； (2)Sn＝3n－1. 解析：　(1)当n＝1时，a1＝S1＝7， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2＋3n＋2)－[2(n－1)2＋3(n