5.3.2 第2课时 函数的最大(小)值-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义配套课件（人教A版2019）

第2课时　函数的最大(小)值 　 第 五 章 5.3.2　函数的极值与最大(小)值 学习目标 1．借助函数图象，直观地理解函数的最大值和最小值的概念． 2．弄清函数最大值、最小值与极大值、极小值的区别与联系，理解和熟悉函数f (x)有最大值和最小值的充分条件． 3．掌握求在闭区间[a，b]上连续的函数f (x)的最大值和最小值的方法和步骤． 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 知识点　函数的最大(小)值 内 容 索 引 知识点　函数的最大(小)值 索引 1．如图是y＝f (x)在区间[a，b]上的函数图象．显然f (x1)，f (x3)，f (x5)为极大值，f (x2)，f (x4)，f (x6)为极小值．你能找到函数的最大值和最小值吗？ 提示：最大值y＝M＝f (x3)＝f (b)，分别在x＝x3及x＝b处取得，最小值y＝m＝f (x4)，在x＝x4处取得．显然函数的最值是函数的整体性质，且要求函数是连续不断的，而最值不同于极值，如果有最大(小)值，则唯一存在． 问题导思 2．开区间上的连续函数有最值吗？ 提示：如图． 容易发现，开区间上的连续函数不一定有最大值和最小值，若有最值，则一定是在极值点处取到． 函数最值的定义 (1)一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f (x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值． (2)对于函数f (x)，给定区间I，若对任意x∈I，存在x0∈I，使得f (x)≥f (x0)，则称f (x0)为函数f (x)在区间I上的最小值；若对任意x∈I，存在x0∈I，使得f (x)≤f (x0)，则称f (x0)为函数f (x)在区间I上的最大值． 新知形成 (1)开区间不一定有最值，闭区间上的连续函数一定有最值． (2)函数f (x)在闭区间[a，b]上连续是f (x)在闭区间[a，b]上有最大值和最小值的充分不必要条件． 微提醒 　　　求下列各函数的最值： (1)f (x)＝－x4＋2x2＋3，x∈[－3，2]； f ′(x)＝－4x3＋4x， 令f ′(x)＝－4x(x＋1)(x－1)＝0， 得x＝－1，x＝0，x＝1. 当x变化时，f ′(x)及f (x)的变化情况如下表： 所以当x＝－3时，f (x)取最小值－60； 当x＝－1或x＝1时，f (x)取最大值4. 例1 (2)f (x)＝x3－3x2＋6x－2，x∈[－1，1]； f ′(x)＝3x2－6x＋6＝3(x2－2x＋2)＝3(x－1)2＋3， 因为f ′(x)在[－1，1]内恒大于0， 所以f (x)在[－1，1]上为增函数．故x＝－1时， f (x)最小值＝－12； x＝1时，f (x)最大值＝2. 即f (x)的最小值为－12，最大值为2. 令f ′(x)＝0，则x＝2， 当x变化时，f ′(x)，f (x)的变化情况如表所示． 求函数最值的步骤 第一步：求函数的定义域； 第二步：求f ′(x)，解方程f ′(x)＝0； 第三步：列出关于x，f (x)，f ′(x)的变化表； 第四步：求极值、端点处的函数值，确定最值． 方法技巧 即时练1.求下列各函数的最值： (1)f (x)＝2x3－6x2＋3，x∈[－2，4]； f ′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)． 令f ′(x)＝0，得x＝0或x＝2. 当x变化时，f ′(x)，f (x)的变化情况如下表： x －2 (－2，0) 0 (0，2) 2 (2，4) 4 f ′(x)   ＋ 0 － 0 ＋   f (x) －37 单调递增 极大值3 单调递减 极小值－5 单调递增 35 所以在区间[－2，4]上，当x＝4时，f (x)取得最大值35； 当x＝－2时，f (x)取得最小值－37. (2)f (x)＝ex(3－x2)，x∈[2，5]． 因为f (x)＝3ex－exx2，所以f ′(x)＝3ex－(exx2＋2exx)＝－ex(x2＋2x－3)＝ －ex(x＋3)(x－1)． 因为在区间[2，5]上，f ′(x)＝－ex(x＋3)(x－1)＜0，即函数f (x)在区间[2，5]上单调递减， 所以在区间[2，5]上，当x＝2时，函数f (x)取得最大值－e2；当x＝5时，函数f (x)取得最小值－22e5. 索引 综　合　应　用 索引 　　　已知函数f (x)＝aln x＋2x2－4x(a∈R)． (1)若x＝2是f (x)的极值点，求f (x)的单调区间； 例2 应用一　利用导数求含有参数的函数的最值 f (x)的定义域为(0，＋∞)， 因为x＝2是f (x)的极值点， 当x＞2时，f ′(x)＞0；当0＜x＜2时，f ′(x)＜0， 所以f (x)的单调递减区间为(0，2)，单调递增区间为(2，＋∞)． (2)求g(x)