5.2.3 简单复合函数的导数-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义配套课件（人教A版2019）

5.2.3　简单复合函数的导数 　 第 五 章 5.2　导数的运算 学习目标 1．进一步运用导数公式和导数运算法则求函数的导数． 2．了解复合函数的概念，掌握复合函数的求导法则． 课 时 精 练 知识点二　求复合函数的导数 综 合 应 用 随 堂 演 练 知识点一　复合函数的概念 内 容 索 引 知识点一　复合函数的概念 索引 函数y＝ln(2x－1)是如何构成的？ 提示：y＝ln(2x－1)，其中的2x－1“占据”了对数函数y＝ln x中x的位置，f(x)＝ln x，而f(2x－1)＝ln(2x－1)，这里有代入、代换的思想，则函数y＝ln(2x－1)是由内层函数为幂函数的线性组合和外层函数为对数函数复合而成，是复合函数，而函数y＝(2x－1)ln x不是复合函数，它只是两个函数相乘的关系，没有代入、代换的意思． 问题导思 复合函数的概念 　　一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝_________． 新知形成 内、外层函数通常为基本初等函数． 微提醒 f(g(x)) 　　若f(x)与g(x)均为基本初等函数，则函数y＝f(g(x))或函数y＝g(f(x))均为复合函数． 方法技巧 　　　(多选)下列哪些函数是复合函数 A．y＝xln x B．y＝(3x＋6)2 √ √ √ A不是复合函数；BCD都是复合函数．故选BCD. 例1 即时练1.(多选)下列哪些函数是复合函数 B不是复合函数；ACD都是复合函数．故选ACD. √ √ √ 索引 知识点二　求复合函数的导数 索引 如何求函数y＝sin 2x的导数？ 提示：y＝sin 2x＝2sin xcos x，由两个函数相乘的求导法则可知：y′＝2cos2x－2sin2x＝2cos 2x；从整体上来看，外层函数是基本初等函数y＝sin u，它的导数y′＝cos u，内层函数是幂函数的线性组合u＝2x，它的导数是u′＝2，发现y′x＝y′u·u′x. 问题导思 复合函数的求导法则 　　一般地，对于由函数y＝f(u)和u＝g(x)复合而成的函数y＝f(g(x))，它的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝_______，即y对x的导数等于______________________________． 新知形成 (1)中间变量的选择应是基本初等函数的结构． (2)求导由外向内，并保持对外层函数求导时，内层不变的原则． (3)求每层函数的导数时，注意分清是对哪个变量求导． 微提醒 y′u·u′x y对u的导数与u对x的导数的乘积 　　　求下列函数的导数： (1)y＝(3x＋6)3； 例2 函数y＝(3x＋6)3可以看作函数y＝u3和u＝3x＋6的复合函数，根据复合函数求导法则，有y′x＝y′u·u′x＝(u3)′·(3x＋6)′＝3u2×3＝9(3x＋6)2. (2)y＝e－0.05x＋2； 函数y＝e－0.05x＋2可以看作函数y＝eu和u＝－0.05x＋2 的复合函数，根据复合函数求导法则，有y′x＝y′u·u′x＝(eu)′·(－0.05x＋2)′＝－0.05eu＝ －0.05e－0.05x＋2. (3)y＝ln(2x＋1)． 简单复合函数求导的一般步骤 其一般步骤为“分解—求导—回代”，即： (1)弄清复合关系，将复合函数分解成基本初等函数形式； (2)利用求导法则分层求导； (3)最终结果要将中间变量换成自变量． 注意：不要漏掉第3步回代的过程． 方法技巧 即时练2.求下列函数的导数： (1)y＝(3x－2)2； 因为y＝(3x－2)2由函数y＝u2和u＝3x－2复合而成，所以y′x＝y′u·u′x＝(u2)′·(3x－2)′＝6u＝18x－12. (2)y＝ln(6x＋4)； (3)y＝sin(2x＋1)； 函数y＝sin(2x＋1)可以看作函数y＝sin u和u＝2x＋1的复合函数，根据复合函数求导法则有y′x＝y′u·u′x＝(sin u)′·(2x＋1)′＝2cos u＝2cos(2x＋1)． 索引 综　合　应　用 索引 例3 应用一　与复合函数有关的切线问题 求解与复合函数有关的切线问题的两个关键 1．求复合函数的导数，这是正确解题的前提条件，要注意把复合函数逐层分解，求导时不要有遗漏． 2．求切线方程，注意切线所过的点是否为切点． 方法技巧 即时练3.已知f(x)为偶函数，当x≤0时，f(x)＝e－x－1－x，则曲线y＝f(x)在点(1，2)处的切线方程是________． 设x＞0，则－x＜0，f(－x)＝ex－1＋x.又f(x)为偶函数，f(x)＝f(－x)＝ex－1＋x.所以当x＞0时，f(x)＝ex－1＋x.因此，