5.2.2 导数的四则运算法则-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义配套课件（人教A版2019）

5.2.2　导数的四则运算法则 　 第 五 章 5.2　导数的运算 学习目标 1．理解函数的和、差、积、商的求导法则． 2．理解求导法则的证明过程，能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数． 课 时 精 练 知识点二　f(x)g(x)和　　的导数 综 合 应 用 随 堂 演 练 知识点一　f(x)±g(x)的导数 内 容 索 引 f(x) g(x) 知识点一　f(x)±g(x)的导数 索引 设f(x)＝x3，g(x)＝x，计算[f(x)＋g(x)]′与[f(x)－g(x)]′，它们与f′(x)和g′(x)有什么关系？ 提示：设y＝f(x)＋g(x)＝x3＋x， Δy＝(x＋Δx)3＋(x＋Δx)－(x3＋x)＝3x2Δx＋3x(Δx)2＋(Δx)3＋Δx， 问题导思 所以[f(x)＋g(x)]′＝f′(x)＋g′(x)． Δy＝(x＋Δx)3－(x＋Δx)－(x3－x)＝3x2Δx＋3x(Δx)2＋(Δx)3－Δx， 而f′(x)＝3x2，g′(x)＝1，所以[f(x)－g(x)]′＝f′(x)－g′(x)． 设y＝f(x)－g(x)＝x3－x， 　　两个函数和或差的导数：[f(x)±g(x)]′＝____________． 新知形成 f′(x)±g′(x) 记结论 两个导数的和差运算只可推广到有限个函数的和差的导数运算，即[u(x)±v(x)±…±w(x)]′＝u′(x)±v′(x)±…±w′(x)． 　　 求下列函数的导数： (1)y＝x5－x3＋cos x； (2)y＝lg x－ex. 例1 　　两个函数和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差)，对于每一项分别利用导数的运算法则即可． 方法技巧 即时练1.求下列函数的导数： (1)f(x)＝x2＋sin x； 因为f(x)＝x2＋sin x， 所以f′(x)＝2x＋cos x. 所以g′(x)＝3x2－3x－6. 索引 知识点二　f(x)g(x)和　　的导数 索引 f(x) g(x) 问题导思 新知形成 f′(x)g(x)＋f(x)g′(x) cf′(x) 记结论 两个函数可导，则它们的和、差、积、商(商的分母不为零)必可导． 可推广到有限个函数的函数乘积的导数，即： ①[af(x)＋bg(x)]′＝af′(x)＋bg′(x)； ②[u(x)v(x)…w(x)]′＝u′(x)v(x)…w(x)＋u(x)v′(x)…w(x)＋…＋(x)v(x)…w′(x). 　　　求下列函数的导数： (1)y＝(2x2－1)(3x＋1)； 例2 法一：可以先展开再求导： y＝(2x2－1)(3x＋1)＝6x3＋2x2－3x－1， 所以y′＝(6x3＋2x2－3x－1)′＝18x2＋4x－3. 法二：可以利用乘法的求导法则进行求导： y′＝(2x2－1)′(3x＋1)＋(2x2－1)(3x＋1)′＝4x(3x＋1)＋3(2x2－1)＝12x2＋4x＋6x2－3＝18x2＋4x－3. 把函数的解析式整理变形可得： (3)y＝3xex－2x＋e； 根据求导法则进行求导可得： y′＝(3xex)′－(2x)′＋e′ ＝(3x)′ex＋3x(ex)′－(2x)′＝3xln 3·ex＋3xex－2xln 2 ＝(3e)xln 3e－2xln 2. 利用除法的求导法则进行求导可得： 变式探究 利用导数的四则运算法则求函数导数的策略 1．分析待求导的式子符合哪种求导法则，每一部分式子是由哪种基本初等函数组合成的，确定求导法则，基本公式． 2．如果待求式子比较复杂，则需要对式子先变形再求导，常用的变形有乘积式展开变为和式求导，商式变乘积式求导，三角函数恒等变换后求导等． 3．利用导数运算法则求导的原则是尽可能化为和、差式求导，尽量少用积、商的求导法则求导． 方法技巧 即时练2.求下列函数的导数： (1)y＝(2x2＋3)(3x－2)； 法一：y′＝(2x2＋3)′(3x－2)＋(2x2＋3)·(3x－2)′＝4x(3x－2)＋(2x2＋3)×3＝18x2－8x＋9. 法二：因为y＝(2x2＋3)(3x－2)＝6x3－4x2＋9x－6，所以y′＝18x2－8x＋9. (2)y＝ex cos x－3xln x； y′＝(ex cos x－3xln x)′ ＝(ex)′cos x＋ex(cos x)′－3[(x)′ln x＋x(ln x)′] ＝ex(cos x－sin x)－3ln x－3. 索引 综　合　应　用 索引 例3 应用一　利用导数的四则运算法则求曲线的切线斜率 √ 1．此类问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素，其他的条件可以进行转化，从而转化为这三个要素间的关系． 2．准确利用求导法则求出导函数是解决此类问题的第一步，也是解题的关键，务必做到准确． 3．分清已知点