第4章 习题课 数列求和(一)-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义配套课件（人教A版2019）

习题课　数列求和(一) 　 第四章 数 列 学习目标 1．熟练掌握等差数列和等比数列的求和公式． 2．掌握分组转化求和、倒序相加法求和、并项求和等数列求和的方法． 随 堂 演 练 课 时 精 练 综 合 应 用 内 容 索 引 综　合　应　用 索引 　　　已知等差数列{an}的前四项和为10，且a2，a3，a7成等比数列． (1)求数列{an}的通项公式； 例1 应用一　分组转化求和 (2)设bn＝an＋2n，求数列 的前n项和Sn. 当an＝3n－5时，bn＝(3n－5)＋2n， 方法技巧 分组转化法求和的常见类型 即时练1.设等差数列{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}的各项都为正数，且满足a1＝b1＝2，a3＝b1＋b2，S3＝b3＋4. (1)求{an}，{bn}的通项公式； 　　　已知数列{an}的通项公式为an＝n－2(n∈N*)，设f(x)＝x＋log2 ，则数列{f(an)}的各项之和为 A．36 B．33 C．30 D．27 例2 应用二　倒序相加求和 √ 所以f(x)＋f(6－x)＝6. 所以数列{f(an)}的各项之和S＝f(a1)＋f(a2)＋…＋f(a9)＝f(－1)＋f(0)＋…＋f(7)． 因为S＝f(7)＋f(6)＋…＋f(－1)， 所以2S＝[f(－1)＋f(7)]＋[f(0)＋f(6)]＋…＋[f(7)＋f(－1)]＝6×9＝54. 所以S＝27.故选D. 倒序相加法求和适合的题型 　　一般情况下，数列项数较多，且距首末等距离的项之间隐含某种关系，需要结合题意主动发现这种关系，利用推导等差数列前n项和公式的方法，倒序相加求和． 方法技巧 即时练2.在推导等差数列前n项和的过程中，我们使用了倒序相加的方 法，类比可以求得sin21°＋sin22°＋…＋sin289°＝________． 令S＝sin21°＋sin22°＋…＋sin289°，则S＝sin289°＋sin288°＋…＋sin21°， 两式相加可得2S＝(sin21°＋sin289°)＋(sin22°＋sin288°)＋…＋(sin289°＋sin21°)＝89， 故S＝44.5，即sin21°＋sin22°＋…＋sin289°＝44.5. 　　　已知数列an＝(－1)nn，求数列{an}的前n项和Sn. 法一：若n是偶数，则Sn＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋(－5＋6)＋…＋[－(n－1)＋n]＝ . 应用三　并项求和 例3 法二：可采用分组求和(略)． (变条件)若an＝(－1)nn2，求数列{an}的前n项和Sn. 变式探究 若n是偶数，Sn＝(－12＋22)＋(－32＋42)＋(－52＋62)＋…＋[－(n－1)2＋n2] ＝3＋7＋11＋…＋2n－1，共有 项， 并项转化法求和的解题策略 1．一般地，当数列中的各项正负交替，且各项的绝对值成等差数列时，可以采用并项转化法求和． 2．在利用并项转化法求和时，因为数列的各项是正负交替的，所以一般需要对项数n进行分类讨论，但最终的结果却往往可以用分段形式来表示． 方法技巧 即时练3.已知数列－1，4，－7，10，…，(－1)n·(3n－2)，…，求其前n项和Sn. 当n为偶数时，令n＝2k(k∈N*)， Sn＝S2k＝－1＋4－7＋10＋…＋(－1)n(3n－2)＝(－1＋4)＋(－7＋10)＋…＋[(－6k＋5)＋(6k－2)]＝3k＝ n. 当n为奇数时，令n＝2k－1(k∈N*)， 索引 索引 1．数列{1＋2n－1}的前n项和为 A．1＋2n B．2＋2n C．n＋2n－1 D．n＋2＋2n √ 2．若数列{an}的通项公式是an＝ 其前n项和为Sn，则S30＝ A．120 B．180 C．240 D．360 √ 由题意得S30＝(a1＋a3＋…＋a29)＋(a2＋a4＋…＋a30)＝(1＋2＋…＋15)＋(1＋2＋…＋15)＝ ×2＝240.故选C. 3．数列{an}的通项公式为an＝(－1)n－1·(4n－3)，则它的前100项之和S100＝______． S100＝(4×1－3)－(4×2－3)＋(4×3－3)－…－(4×100－3)＝4×[(1－2)＋(3－4)＋…＋(99－100)]＝4×(－50)＝－200. －200 4．已知{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且b2＝3，b3＝9，a1＝b1，a14＝b4，则数列{an＋bn}的前n项和为________． an＝n＋1 索引 课　时　精　练 索引 基础达标 √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2．德国数学家高斯是近代数学奠基者