4.3.2 第1课时 等比数列的前n项和公式-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义配套课件（人教A版2019）

第1课时　等比数列的前n项和公式 　 第 四 章 4.3.2　等比数列的前n项和公式 学习目标 1．掌握等比数列的前n项和公式及公式证明思路． 2．会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列的一些简单问题． 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 知识点　等比数列前n项和公式 内 容 索 引 知识点　等比数列前n项和公式 索引 1．若等比数列{an}的首项是a1，公比是q，如何求该等比数列的前n项和？ 提示：思路一：因为Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an－1＋an， 所以Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－2＋a1qn－1， 上式中每一项都乘等比数列的公比可得qSn＝a1q＋a1q2＋a1q3＋…＋a1qn－1＋a1qn， 发现上面两式中有很多相同的项，两式相减可得Sn－qSn＝a1－a1qn，即(1－q)Sn＝a1(1－qn)， 问题导思 2．国际象棋起源于古印度．相传国王要奖赏国际象棋的发明者，问他想要什么．发明者说：“请在棋盘的第1个格子里放上1颗麦粒，第2个格子里放上2颗麦粒，第3个格子里放上4颗麦粒……依次类推，每个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子．请给我足够的麦粒以实现上述要求．”国王觉得这个要求不高，就欣然同意了．已知1 000颗麦粒的质量约为40 g，据查，2016－2017年度世界小麦产量约为7.5亿吨，根据以上数据，判断国王是否能实现他的诺言．如果他无法实现他的诺言，你能帮他解决吗？ 新知形成 na1(q＝1) na1(q＝1) (1)等比数列前n项和公式分q＝1与q≠1两种情况，因此当公比未知或是代数式时，要对公比分类讨论． 如求数列{an}的前n项和：当a＝0时，{an}不是等比数列，Sn＝0； 当a＝1时，{an}是首项a1＝1，公比q＝1的等比数列，Sn＝na1＝n； 微提醒 (3)解决等比数列的问题时，a1，an，n，q，Sn五个量中，知道任意三个，由通项公式和前n项和公式，可求出另外两个． 微提醒 　　　在等比数列{an}中，Sn为其前n项和，解决下列问题： (1)若an＝3×2n，求S6； 例1 (2)若Sn＝189，q＝2，an＝96，求a1和n； 14 (3)若S2＋S4＝S6，求其公比q. 若q＝1，则S2＝2a1，S4＝4a1，S6＝6a1，显然满足S2＋S4＝S6，所以q＝1符合题意； (变条件)本例(3)中，若将条件改为“数列{an}是等比数列，且S3＝3a3”，求其公比q的值． 变式探究 法一：当q＝1时，S3＝3a1＝3a3，符合题意； 等比数列前n项和运算的技巧 1．在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及五个量：a1，an，n，q，Sn，其中首项a1和公比q为基本量，且“知三求二”，常常列方程组来解答． 2．对于基本量的计算，列方程组求解是基本方法，通常用约分或两式相除的方法进行消元，有时会用到整体代换，如qn， 都可以看作一个整体． 方法技巧 即时练1.在等比数列{an}中． (1)若S2＝30，S3＝155，求Sn； (2)若a1＋a3＝10，a4＋a6＝ ，求S5； (3)若a1＋an＝66，a2an－1＝128，Sn＝126，求公比q. 因为a2an－1＝a1an＝128， 所以a1，an是方程x2－66x＋128＝0的两个根． 索引 综　合　应　用 索引 　　　数列{an}的前n项和Sn＝3n－2.求{an}的通项公式，并判断{an}是否是等比数列． 例2 应用一　利用等比数列前n项和公式判断等比数列 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n－2)－(3n－1－2)＝2·3n－1. 当n＝1时，a1＝S1＝31－2＝1不适合上式． 法一：由于a1＝1，a2＝6，a3＝18，显然a1，a2，a3不是等比数列，即{an}不是等比数列． 法二：由等比数列{bn}的公比q≠1时的前n项和Sn＝A·qn＋B满足的条件为A＝－B，对比可知Sn＝3n－2，2≠1，故{an}不是等比数列． 1．(变条件、变设问)若将本例改为数列{an}是等比数列，且其前n项和为Sn＝3n＋1－2k，则实数k＝______. 变式探究 因为Sn＝3n＋1－2k＝3·3n－2k，且{an}为等比数列，所以3－2k＝0，即k＝ . 1．已知Sn，通过an＝ 求通项an，应特别注意当n≥2时，an＝Sn－Sn－1. 2．若数列{an}的前n项和Sn＝A(qn－1)，其中A≠0，q≠0且q≠1，则{an}是等比数列． 方法技巧 即时练2.已知数列{an}的前n项和Sn＝an－1(a是不为零且不等于1的常数)，则数列{an} A．一定是等差数列 B．一定是等比数列 C．是等差数列或等比