4.3.1 第1课时 等比数列的概念及通项公式-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义配套课件（人教A版2019）

第1课时　等比数列的概念及通项公式 　 第 四 章 4.3.1　等比数列的概念 学习目标 1．通过生活中的实例，理解等比数列、等比中项的概念． 2．根据等比数列的定义能推导出等比数列的通项公式，并能够运用等比数列的通项公式解决简单的数学问题． 3．体会等比数列与指数函数的关系． 4．掌握等比数列的判断及证明方法． 随 堂 演 练 知识点二　等比中项 综 合 应 用 知识点一　等比数列的概念 内 容 索 引 课 时 精 练 知识点三　等比数列的通项公式 知识点一　等比数列的概念 索引 观察下面几个问题中的数列，回答后面的问题． (1)我国古代数学名著《孙子算经》中有一个有趣的问题叫“出门望九堤”：“今有出门望九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雏，雏有九毛，毛有九色，问各有几何？” 构成数列：9，92，93，94，95，96，97，98； 问题导思 等比数列的概念 一般地，如果一个数列从第___项起，每一项与它的____一项的____都等于________常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的______，公比通常用字母q表示(q≠0)． 新知形成 2 前 比 同一个 公比 (2)定义强调“从第2项起”，因为第一项没有前一项． (3)比必须是同一个常数． (4)等比数列中任意一项都不能为0. (5)公比可以为正数、负数，但不能为0. 微提醒 　　　判断下列数列是否是等比数列，如果是，写出它的公比： 例1 (1)不是等比数列；(2)是等比数列，公比为 ；(3)不是等比数列；(4)是等比数列，公比为－4；(5)当a＝0时，不是等比数列，当a≠0时是等比数列，公比为1. 判断一个数列是否为等比数列的方法 　　定义法：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列是等比数列，否则，不是等比数列，且等比数列中任意一项不能为0，对于含参数的数列需要分类讨论． 方法技巧 即时练1.以下条件中，能判定数列是等比数列的有 ①数列1，2，6，18，…； √ ①中，数列不符合等比数列的定义，故不是等比数列；②中，前3项是等比数列，多于3项时，无法判定，故不能判定是等比数列；③中，当a＝0时，不是等比数列；④中，数列符合等比数列的定义，是等比数列．故选A. 索引 知识点二　等比中项 索引 我们知道，任意两个实数都有等差中项，那么，任意两个实数是否也有等比中项？ 提示：不是，首先，0不能出现在等比数列中，就没有任意性；其次，假设－1，x，1这三个数成等比数列，则根据定义会有 ＝ ，即x2＝－1，该方程无实数解，故符号不同的两个实数也无等比中项．若1，x，4这三个数成等比数列，由定义可知，x2＝4，即x＝±2；或－1，x，－4这三个数成等比数列，由定义可知，x2＝4，即x＝±2，我们发现，如果两个实数有等比中项，则会有两个，且互为相反数． 问题导思 　　等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的__________，此时，_________． 新知形成 (1)若G2＝ab，则a，G，b不一定成等比数列． (2)只有同号的两个实数才有等比中项． (3)若两个实数有等比中项，则一定有两个，它们互为相反数． 微提醒 等比中项 G2＝ab 　　　(1)已知等比数列的前3项依次为x，2x＋2，3x＋3，求实数x的值． 例2 因为等比数列的前3项依次为x，2x＋2，3x＋3，所以x(3x＋3)＝(2x＋2)2，解得x＝－1或x＝－4. 又因为当x＝－1时，2x＋2＝3x＋3＝0不合题意，所以实数x的值为－4.  (2)已知等比数列{an}，a2a3a4＝64，a3＋a6＝36，求a1和a5的等比中项． 所以a5＝a1q4＝16. 设a1和a5的等比中项为G，则G2＝a1a5＝16，所以G＝±4，故a1和a5的等比中项是±4. 应用等比中项解题的两个关注点 1．如果出现等比数列两项的乘积时，就要注意考虑是否能转化为等比中项表示． 2．等比中项一般不唯一，如果在等比数列中，还要关注项的关系，如a4是a2，a6的等比中项，而a4＝a2q2，因此a4与a2的符号相同． 方法技巧 √ 索引 知识点三　等比数列的通项公式 索引 1．类比等差数列，你能根据等比数列的定义推导它的通项公式吗？ 问题导思 法二：a2＝a1q， a3＝a2q＝(a1q)q＝a1q2， a4＝a3q＝(a1q2)q＝a1q3， … 由此可得an＝a1qn－1(n≥2)， 当n＝1时，上式也成立． 2．观察等比数列的通项公式，你认为它与我们熟悉的哪一类函数有关？ 1．若等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则an＝_________(n∈N*)． 2．等比数列的通项公式与指数型函数的关系