17.4 一元二次方程的根与系数的关系 第2课时 课件 2023—2024学年沪科版数学八年级下册

17.4 一元二次方程的根与系数的关系 第2课时 第十七章 一元二次方程 1 学习导航 学习目标 新课导入 合作探究 当堂检测 课堂总结 一、学习目标 1.能将一元二次方程中两根的其他运算关系转化为两根之和与两根之积之间的运算（重点） 2.通过利用一元二次方程根与系数的关系求代数式的值,进一步掌握“整体”代入法（难点） 二、新课导入 1.什么是韦达定理？ 如果ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别是x1、x2，那么x1+x2= ，x1x2= 2.填空： (1)2x2+x-5=0,x1+x2= ,x1x2= ; (2)x2+2x-3=0,x1+x2= ,x1x2= ； (3)x2-3x-4=0,x1+x2= ,x12+x22= . -0.5 -2.5 -2 -3 怎么快速写出(3)中x12+x22值？ 3 问题提出：不解方程，求方程2x2+3x-1=0的两根的平方和、倒数和. 三、合作探究 探究一：利用根与系数的关系求代数式的值 问题探索：设两根分别为x1，x2，根与系数的关系的前提是方程Δ 0，方程两根的平方和= ，倒数和= . (m+n)2的展开式为 ，则m2+n2= , 类比可知：x12+x22= ; 两个分数相加的步骤：①通分；②分母 ，分子 . x12+x22 ≥ m2+2mn+n2 (m+n)2-2mn (x1+x2)2-2x1x2 不变 相加 求方程2x2+3x-1=0的两根的平方和、倒数和 问题解决：a=2，b=3,c=-1 Δ=b2-4ac=32-4×2×(-1)=17>0， ∴方程有两个不相等实数根 ∴x1+x2= ，x1x2= ∴x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2= 探究一：利用根与系数的关系求代数式的值 总结：求与方程的根有关的代数式的值时,一般先将所求的代数式化成含两根之和,两根之积的形式,再整体代入. 三、合作探究 练一练 1.方程x2+2x-4=0有两根x1和x2， (x1+1)(x2+1)= ; x12+x22= ; = ; = . -5 三、合作探究 12 0.5 -3 常见的变形： 1.(x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1 2.x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2 3. 探究二：方程的根的定义、根与系数的关系相结合 已知实数p,q满足p2=3p+2,2q2=3q+1，且p与2q不等， 问题提出：求p2+4q2的值. 问题探索：设t=2q，则t2= ; 根据根的定义可知：p,t是方程 的两个不相等的实数根,则 p+t= ,pt= ,即p+2q= ,2pq= ;故p2+4q2= . x2-3x-2=0 问题解决：原式=(p+2q)2-4pq =32-2×(-2) =13 3 -2 3t+2 (p+2q)2-4pq 3 -2 三、合作探究 2.已知a，b是方程2x2-2x-1=0的两个根，则2a2+a+3b=( ) A.2或-2 B.-2 C.2 D.4 练一练 D 三、合作探究 四、当堂检测 1.已知m、n满足2m2-2m-1=0，2n2-2n-1=0，且m、n不等，则m2n+mn2的值是( ) A.-1 B.-0.5 C.0.5 D.1 B 2.(1)已知一元二次方程x2-4x+3=0的两根分别为x1，x2，则x12+x22+x1x2=____. (2)若方程x2-4x+1=0的两根分别为m和n，则m2-n2= . 13 10 3.已知关于x的一元二次方程x2 -(2k+1)x+k2=0有两个不相等的实数根． （1）求k的取值范围； （2）设原方程的两个实数根为a、b，当k=1时，求a2+b2的值． 解：(1)△=(2k+1)2-4k2=4k+1 依题意有：△>0,即4k+1>0 解得k>-0.25 (2)k=1时，方程为x2-3x+1=0， 则a+b=3，ab=1， a2+b2=(a+b)2-2ab=32-2×1=7 四、当堂检测 4.如果m,n是两个不相等的实数，且满足m2-m=3,n2-n=3,求代数式2n2-mn+2m+2019的值. 解