17.4 一元二次方程的根与系数的关系 第1课时课件 2023-2024学年沪科版八年级数学下册

17.4 一元二次方程的根与系数的关系 第1课时 第十七章 一元二次方程 1 学习导航 学习目标 新课导入 自主学习 合作探究 当堂检测 课堂总结 一、学习目标 1.熟知一元二次方程的根与系数的关系,并能证明这一结论 2.会运用根与系数的关系解决有关问题二次方程（重点） 二、新课导入 快速填写： (1)x2+3x-4=0,x1= ,x2= ,x1+x2= ,x1x2= ; (2)x2-5x+6=0,x1= ,x2= ,x1+x2= ,x1x2= ; (3)x2-2x-8=0,x1= ,x2= ,x1+x2= ,x1x2= . -4 1 2 3 -2 4 -3 5 -4 2 -8 6 观察x1+x2、x1x2与方程系数有什么关系？ 三、自主学习 将上述数据整理成如下表格： 一元二次方程 两 根 x1+x2 x1x2 x1 x2 x2 +3x -4 =0 -4 1 -3 -4 x2 -5x +6 =0 2 3 5 6 x2 -2x -8 =0 -2 4 2 -8 1.观察x1+x2的值与方程系数，有什么发现？ 形如方程x2+px+q=0的两根是x1,x2,那么x1+x2=-p 2.观察x1x2的值与方程系数，有什么发现？ 形如方程x2+px+q=0的两根是x1,x2,那么x1x2=q 三、自主学习 证一证： 方程x2+px+q=0的两根是x1,x2,那么x1+x2=-p , x1x2=q. 证：若一元二次方程的两根为x1,x2,则有x-x1=0,且x-x2=0, 那么方程（x-x1)(x-x2)=0 去括号，得x2-x1x-x2x+x1x2=0 即x2-(x1+x2)x+x1x2=0 又方程为x2+px+q=0 故x1+x2=-p , x1x2=q 猜一猜：如果一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别是x1、x2，那么x1+x2与x1x2与系数有什么关系呢？ 解：将方程两边同时除以a,得 故x1+x2= , x1x2= 韦达定理： 如果ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别是x1、x2，那么x1+x2= , 三、自主学习 x1x2= 问题提出：关于x的方程(a-1)x2+2ax=1-a，下列说法是否正确. ①一定是一个一元二次方程； ②a=-1时，方程的两根x1和x2满足x1+x2=-1; ③a=3时，方程的两根x1和x2满足x1x2=1; ④a=1时，方程无实数根. 四、合作探究 探究一：不解方程,求方程的两根之和与两根之积 问题探索：考虑该方程是一元一次方程还是一元二次方程: (1)是一元一次方程，则二次项系数 为0，此时a= ； (2)是一元二次方程，则a-1 ,即a ，根与系数的关系的前提是方程Δ 0，此时x1+x2= ，x1x2= . 1 a-1 ≠0 ≠1 ≥ 1 (a-1)x2+2ax=1-a a=1,a=-1,a=3 四、合作探究 探究一：不解方程,求方程的两根之和与两根之积 问题解决：a=1时，方程为2x=0,是一元一次方程，解为0， 故①和④错误； a=-1时，方程为-2x2-2x=2,即x2+x+1=0, 此时Δ=b2-4ac=12-4×1×1=-3<0， 方程无实数根，即不存在x1和x2,故②错误； a=3时，方程为2x2+6x=-2，即x2+3x+1=0， 此时Δ=b2-4ac=32-4×1×1=5>0， 所以方程存在两根，x1x2=1,故③正确. 注意事项： 1.将一元二次方程转化为一般形式； 2.验证Δ≥0，以确保方程确实有两个根. 练一练 1.方程x2+2x-4=0有两根x1和x2，则x1+x2的值为（ ） A.2 B.-2 C.4 D.-4 B 四、合作探究 探究二：根据方程根与系数的关系求未知系数的值 已知关于x的方程x2+2(a-1)x+a2-7a-4=0 问题提出1：当方程有两个不等根时，求a的取值范围； 四、合作探究 问题探索：方程有两个不等根表明方程Δ 0 > 问题解决：a=1,b=2(a-1),c=a2-7a-4 ∴Δ=b2-4ac=[2(a-1)]2-4(a2-7a-4)=20a+20 依题有：Δ>0，即20a+20>0 解得a>-1 已知关于x的方程x2+2(a-1)x+a2-7a-4=0 问题提出2：方程两根为x1,x2,且满足x1x2-3x1-3x2-2=0.求a的值. 四、合作探究 问题探索：方程形如x2+px+q=0,则两根之和为 ，两根之积为 ，则题目中的x1+x2= ，x1x2=