17.2.1 直接开方法课件 2023-2024学年沪科版八年级数学下册

17.2 一元二次方程的解法 1.直接开方法 第十七章 一元二次方程 1 学习导航 学习目标 新课导入 自主学习 合作探究 当堂检测 课堂总结 一、学习目标 1.会用直接开平方法解形如x2=m,(ax+n)2=m(m≥0)的一元二次方程 (重点) 2.知道直接开平方法求一元二次方程的解的依据是数的开平方运算 二、新课导入 1.如果x2=a,则x叫做a的 ； 2.如果x2=a(a≥0),则x= ； 3.x2=64 ,则x= . 4.任何数都可以作为被开方数吗？ 解：负数不可以作为被开方数. 平方根 ±8 根据平方根的定义回答下列问题： 三、自主学习 (1)x2=4，那么x= ； (2)x2=0，那么x= ； (3)x2=-1,那么x= . ±2 0 不存在 观察发现什么？ 方程形如x2=m(m≥0) 两个不等的根 两个相等的根 无解 三、自主学习 对于形如x2=m(m≥0)的方程,可以直接用开平方得到x= .这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法,简称开平方法. (1)当m>0 时，根据平方根的意义，方程x2=m有两个不等的实数根； (2)当m=0 时，根据平方根的意义，方程x2=m有两个相等的实数根； (3)当m<0 时，因为任何实数x，都有x2≥0 ，所以方程x2=m无实数根. 四、合作探究 探究一 活动：利用直接开平方法解下列方程： (1)x2=9 (2）x2-121=0 (3)(x-2)2=16 解:（1）开平方，得x1=3,x2=-3 （2）移项，得x2=121 开平方，得x1=11,x2=-11 （3）开平方，得x-2=±4 解得x1=6,x2=-2 把x-2看作一个整体 四、合作探究 探究一 对照上面的方法，你认为怎样解方程2(2x+3)2=50? 解:两边同时除以2，得(2x+3)2=25 开平方，得2x+3=±5 解得x1=1，x2=-4 思路：形如x2=m(m≥0)可以直接开平方求解, 把2(2x+3)2=50转化为等式左边只剩进行(2x+3)2求解 四、合作探究 归纳总结 用直接开平方法解一元二次方程的一般步骤是: 首先将一元二次方程化为左边是含有未知数的一个完全平方式，右边是非负数的形式，然后用平方根的概念求解. 四、合作探究 练一练 1.下列解方程的过程中，正确的是（ ） A.x2=-2,解方程，得x=± B.(x-2)2=4,解方程，得x-2=2,x=4 C.4(x-1)2=9,解方程，得4(x-1)= ±3, x1= 0.25;x2=1.75 D.(2x+3)2=25,解方程，得2x+3=±5, x1= 1;x2=-4 D 四、合作探究 探究二 解:方程可写成(x+2)2=m+3 (1)方程有两个不等实数根，则m+3＞0 解得m＞-3 (2)m+3=-4+3=-1<0 因为对于任何x，都满足(x+2)2≥0 故m=-4时，方程无解 活动：关于一元二次方程(x+2)2-m-3=0, (1)m为何值时,方程有两个不等实数根? (2)m=-4时，求方程的解. 四、合作探究 1.关于方程a(x+1)2=m，下列说法正确的是（ ） A.a=0或m=0时，方程有两个相等的实数根 B.a、m同号时，方程有两个不等的实数根 C.a、m异号时，方程有两个不等的实数根 D.a、m同号时，方程无解 练一练 B 五、当堂检测 1.下列方程中，适合用直接开平方法解的个数是（ ） ①0.2x2=1; ②(x+2)2=5; ③5(x-1)2=2 ; ④y2-2y+3=0; ⑤x2=x+3; ⑥3x2=x2+3 A.1 B.2 C.3 D.4 D 13 五、当堂检测 2.已知一元二次方程mx2+n=0(m≠0),若方程可以用直接开平方法求解，且有两个实数根，则m、n必须满足的条件是（ ） A.n=0 B.m、n异号 C.n是m的整数倍 D.m、n同号 B 14 五、当堂检测 3.解下列方程： (1)x2-81＝0； (2)2(x＋1)2＝8； (3)(x＋1)2=(7-2x)2 . 解:（1）移项，得x2=81