6.4.3 余弦定理、正弦定理应用举例（讲义，5考点）-2023-2024学年高一数学同步讲义与对点练（人教A版2019必修第二册）

6.4.3 余弦定理、正弦定理应用举例 知识点一 基线 1、定义 在测量过程中，我们把根据测量的需要而确定的线段叫做基线． 2、性质 在测量过程中，应根据实际需要选取合适的基线长度，使测量具有较高的精确度．一般来说，基线越长，测量的精确度越高． 知识点二 测量距离问题 1、测量距离问题的基本类型及解决方案 当的长度不可直接测量时，求的距离有以下三种类型： 类型 简图 计算方法 两点间不可达或不可视 测得角，再由余弦定理得 与可视但不可达 测得角，则,再由余弦定理得. 与可视但不可达 测得角，在中，用正弦定理求；在中，用正弦定理求；在中，用余弦定理求. 2、涉及有关角的术语 术语名称 术语意义 图形表示 方位角 指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如点的方位角为 方向角 相对于某一正方向的水平角，即从指定方向线到目标方向线的水平角．方向角小于90°，通常表达成：正北或正南，北偏东30°，南偏西30°等．如图，点位于点的北偏东60°或东偏北30°方向上． 知识点三 测量高度问题 1、测量距离问题的基本类型及解决方案 当的高度不可直接测量时，求的高度有以下三种类型： 类型 简图 计算方法 底部可达，顶部不可达 测得角， 底部不可达 点与共线 测得角，先由正弦定理求出或，再解直角三角形得的值 底部不可达点与不共线 测得角，在中，用正弦定理求；再通过解直角三角形求. 2、涉及有关角的术语 术语名称 术语意义 图形表示 仰角、俯角 与目标视线在同一铅直平面内的水平线和目标视线的夹角，当目标视线在水平线上方时叫做仰角，当目标视线在水平线下方时叫做俯角 坡角、坡度 坡面与水平面的夹角叫做坡角（） 坡面的垂直高度（）与水平宽度（）的比（）叫做坡度 坡角 坡度 微点拨：仰角、俯角、方位角的区别：三者的参照不同，仰角与俯角是相对水平线而言的，而方位角是相对于正北方向而言的． 知识点四 解三角形应用题 1、解题思路 . 2、基本步骤 运用正弦定理、余弦定理解决实际问题的基本步骤如下： （1）分析：理解题意，弄清已知与未知，画出示意图(一个或几个三角形)； （2）建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与待求量尽可能地集中在有关三角形中，建立一个解三角形的数学模型； （3）求解：利用正弦定理、余弦定理解三角形，求得数学模型的解； （4）检验：检验所求的解是否符合实际问题，从而得出实际问题的解． 考点一 测量距离问题 求两个不可到达的点之间的距离的方法 求两个不可到达的点之间的距离问题，一般是把问题转化为求三角形的边长问题，基本方法是： (1)认真理解题意，正确作出图形，根据条件和图形特点寻找可解的三角形． (2)把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边和角，利用正、余弦定理求解． 1．（2023上·黑龙江·高二统考学业考试）如图，某人在河南岸的点A处，想要测量河北岸的点与点A的距离，现取南岸一点，得，，，则（    ） A． B． C． D． 2．（2023上·全国·高三专题练习）某地为响应习近平总书记关于生态文明建设的号召，大力开展“青山绿水”工程，造福于民，拟对该地某湖泊进行治理，在治理前，需测量该湖泊的相关数据.如图所示，测得∠C＝120°，米，米，则A，B间的直线距离约为（    ） A．60米 B．130米 C．150米 D．300米 3．（2021上·重庆黔江·高三重庆市黔江中学校校考阶段练习）马尔代夫群岛是世界上风景最为优美的群岛之一，如图所示，为了测量两座岛之间的距离，小船从初始位置出发，已知在的北偏西的方向上，在的北偏东的方向上，现在船往东航行2百海里到达处，此时测得在的北偏西的方向上，船再返回到处后，由向西航行百海里到达处，测得在的北偏东的方向上，则两座岛之间的距离为 百海里. 4．（2023上·四川绵阳·高三绵阳南山中学实验学校校考阶段练习）如图，某景区欲在两山顶、之间建缆车，需要测量两山顶间的距离．已知山高，，在水平面上处测得山顶的仰角为，山顶的仰角为，，则两山顶、之间的距离为 ． 5．（2022·高一校考课时练习）某人沿一条折线段组成的小路前进，从到，方位角(从正北方向顺时针转到方向所成的角)是，距离是；从到，方位角是，距离是；从到，方位角是，距离是 (1)求从到的方位角； (2)计算从到的距离. 考点二 测量高度问题 求底部不可到达的物体的高度的方法 求解底部不可到达的物体的高度问题，一般是把问题转化为解直角三角形的边长问题，基本方法是： (1)分清仰角和俯角，根据已知和所求，正确作出图形； (2)理清边角关系，利用