4.3.1 等比数列（五大重难点题型精讲）-【冲刺满分】2023-2024学年高二数学重难点突破+分层训练同步精讲练（人教A版2019选择性必修第二册）

4.3.1 等比数列 1.等比数列的定义--------（证明或判断等比数列）， 2.等比数列的通项公式： 或。 3．等比数列的前和： ①当时，； ②当时，。 4、等比中项： ⑴若成等比数列，那么A叫做与的等比中项， ⑵当时，则有。 重难点题型精讲一、等比数列的概念及其定义 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母表示，即：＝q 例1．（2024·陕西榆林·统考一模）在等比数列中，，则（    ） A． B． C．16 D．8 例2．（2024上·山东潍坊·高三统考期末）如图，谢尔宾斯基地毯是一种无限分形结构，由波兰数学家谢尔宾斯基于1916年发明.它的美妙之处在于，无论将其放大多少次，它总是保持着相同的结构.它的构造方法是：首先将一个边长为1的正方形等分成9个小正方形，把中间的小正方形抠除，称为第一次操作；然后将剩余的8个小正方形均重复以上步骤，称为第二次操作；依次进行就得到了谢尔宾斯基地毯.则前次操作共抠除图形的面积为（    ） A． B． C． D． 例3．（2024上·福建莆田·高二莆田第五中学校联考期末）已知等比数列满足，，则的值为 ． 例4．（2024上·湖北·高二校联考期末）已知等比数列的前3项和为7，若，则的值为 ． 变式训练1、（2022·全国·模拟预测）在等比数列中，，则（    ） A．-4 B．8 C．-16 D．16 变式训练2、（2023·云南大理·统考模拟预测）河南洛阳龙门石窟是中国石刻艺术宝库，现为世界非物质文化遗产之一．某洞窟的浮雕共8层，它们构成一幅优美的图案各层浮雕数成等比数列，第二层浮雕数为6，第5层浮雕数为48，则第7层浮雕数为（    ） A．96 B．128 C．192 D．384 变式训练3、（2024上·重庆·高二重庆八中校考期末）在等比数列 中，，则 ． 变式训练4、（2024上·北京通州·高二统考期末）已知等比数列，则 ． 重难点题型精讲二、等比数列的通项公式 等比数列通项公式为：。推广形式：an=amqn－m. 注意：当公比时该数列既是等比数列也是等差数列； 例5．（2024上·山东泰安·高二统考期末）已知递增等差数列满足，且成等比数列，． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 例6．（2024上·湖北武汉·高二华中师大一附中校考期末）已知数列是等差数列，数列是等比数列，且满足：，． (1)求的通项公式； (2)数列满足，求的通项公式． 变式训练5、（2023上·江苏淮安·高二统考期末）已知正项等比数列，其前项和为，且满足，，，成等差数列. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足：对任意正整数，均成立，求数列的最大项的值. 变式训练6、（2024上·河南信阳·高二统考期末）设为数列的前n项和，． (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和． 重难点题型精讲三、等比中项 若a、b、c成等比数列，则b为a、c的等比中项，且，即b=±. 例7．（2023上·上海闵行·高二校考期中）等比数列中，已知，，则 . 例8．（2023上·江苏宿迁·高三校考阶段练习）在等比数列中，，是方程的两根，则（    ） A． B． C．或 D． 例9．（2023下·广东佛山·高二校考阶段练习）在等比数列中，，则16是中的（    ） A．第6项 B．第7项 C．第8项 D．第9项 变式训练7、（2023·高三课时练习）在等比数列中，，且为和的等差中项，则 ． 变式训练8、（2023上·河南信阳·高二信阳高中校考期末）已知是公比为2的等比数列，则的值为 ． 变式训练9、（2023·河南洛阳·洛阳市第三中学校联考一模）在递增等比数列中，，且是和的等差中项，则（    ） A．256 B．512 C．1024 D．2048 重难点题型精讲四、等比数列的前n项和 等比数列前n项和公式Sn= 例10．（2023上·湖南张家界·高二张家界市民族中学校考阶段练习）已知等差数列满足，，公比不为的等比数列满足，． (1)求与通项公式； (2)设，求的前项和． 例11、（2024上·广东广州·高二统考期末）已知等差数列的前项和为，数列为等比数列，，，. (1)求，的通项公式； (2)求数列的前项和. 变式训练10、（2024上·山东威海·高二统考期末）已知等比数列的前项和为，公比，. (1)设，求； (2)设，求数列的前项和. 变式训练11、（2023上·福建莆田·高二莆田一中校考期末）已知数列的前项和为，且，数列是首项为1，公差为2的等差数列． (1)求数列的通项公式；