4.2.2 等差数列的前n项和（五大重难点题型精讲）-【冲刺满分】2023-2024学年高二数学重难点突破+分层训练同步精讲练（人教A版2019选择性必修第二册）

4.2.2 等差数列的前n项和 1.等差数列的定义--------（证明或判断等差数列） ①或② 2．等差数列的通项公式： 或 3．等差数列的前和： ， 4、等差中项： ⑴若成等差数列，则A叫做与的等差中项，且。 ⑵当时,则有 重难点题型突破一、 累加法求数列的前n项和 例1．（2012·甘肃天水·统考一模）在数列中，，且，求数列的通项公式． 例2．（2024上·河北·高三校联考期末）已知数列满足，且． (1)求； (2)是数列的前n项和，求证：． 变式训练1、（2023上·山东青岛·高三统考开学考试）已知数列中，，，数列是公差为1的等差数列. (1)求的通项公式： (2)若，求数列的前项和. 变式训练2、（2023上·河北保定·高三校联考阶段练习）已知数列满足，． (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 重难点题型突破二、 已知数列的前n项和求其通项公式 例3．（2024上·新疆·高二校联考期末）已知数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 例4．（2024上·广东汕头·高二统考期末）已知正项数列的前项和，满足：． (1)求数列的通项公式； (2)记，设数列的前项和为，求． 变式训练3、（2024上·山西忻州·高二统考期末）已知数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 变式训练4、（2024上·广东广州·高二统考期末）已知数列的前n项和公式为（）． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 重难点题型突破三、 裂项相消求和 例5．（2024上·内蒙古巴彦淖尔·高二统考期末）设数列满足. (1)求的通项公式； (2)记数列的前项和为，证明：. 例6．（2023上·浙江·高二校联考阶段练习）已知数列满足：，. (1)证明：数列是等差数列； (2)记，，求数列的前n项和. 变式训练5、（2023上·贵州贵阳·高三贵阳一中校考阶段练习）数列满足，，，设. (1)证明：数列是等差数列； (2)求数列的前项和. 变式训练6、．（2024上·湖北·高三统考期末）已知正项数列的前项和为，且. (1)证明：数列是等差数列； (2)若数列满足，且，求数列的前项和. 重难点题型突破四、 判断或证明等差数列 例7．（2024上·湖北·高二湖北省武汉市汉铁高级中学校联考期末）已知数列满足. (1)证明：数列是等差数列； (2)数列满足.求数列的通项公式. 变式训练7、（2024上·广东深圳·高三深圳市高级中学校考期末）已知数列满足. (1)求证：是等差数列； (2)设(表示不超过x的最大整数)，求使得成立的最大整数n的值． 重难点题型突破五、 等差数列的综合性质 例8．（2024上·河南周口·高二西华县第一高级中学校联考阶段练习）已知等差数列的公差，，，记该数列的前项和为，则的最大值为（    ） A．20 B．24 C．36 D．40 例9．（2024上·黑龙江牡丹江·高二牡丹江一中校考期末）已知等差数列，的前项和分别为，，若，则（    ） A． B． C． D． 变式训练8、（2024上·江苏南京·高二南京师大附中校考期末）设 为数列 的前项和，若 ，则 的最小值为 变式训练9、（2024上·天津·高二天津市蓟州区第一中学校联考期末）已知等差数列，的前项和分别为，，若，则 . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 4.2.2 等差数列的前n项和 1.等差数列的定义--------（证明或判断等差数列） ①或② 2．等差数列的通项公式： 或 3．等差数列的前和： ， 4、等差中项： ⑴若成等差数列，则A叫做与的等差中项，且。 ⑵当时,则有 重难点题型突破一、 累加法求数列的前n项和 例1．（2012·甘肃天水·统考一模）在数列中，，且，求数列的通项公式． 【答案】 【分析】根据已知，利用累加法求数列的通项公式． 【详解】由题设， 所以且， 显然满足上式， 所以 例2．（2024上·河北·高三校联考期末）已知数列满足，且． (1)求； (2)是数列的前n项和，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由递推公式利用累加法从而可求解. （2）由（1）知可得，利用裂项求和从而可求解. 【详解】（1）， ，，，． 由上述个等式相加得， ． （2）证明： ，，所以， ， 当时，， ，，，，． ． 综上，，得证． 变式训练1、（2023上·山东青岛·高三统考开学考试）已知数列中，，，数列是公差为1的等差数列. (1)求的通项公式： (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等差数列的通项可得，即可根据累加迭代法求解， （2）根据裂项求和即可