4.2.1 等差数列（四大重难点题型精讲）-【冲刺满分】2023-2024学年高二数学重难点突破+分层训练同步精讲练（人教A版2019选择性必修第二册）

4.2.1 等差数列的概念 1、数列的概念：数列是一个定义域为正整数集N*（或它的有限子集｛1,2，3，…，n｝）的特殊函数，数列的通项公式也就是相应函数的解析式。 ①等差数列定义：定义法或。 ②分类：若公差，则为递增等差数列，若公差，则为递减等差数列，若公差，则为常数列。 2、等差数列的判断方法：定义法或 3、等差数列的通项：或。 ①当时，等差数列的通项公式是关于的一次函数，且斜率为公差； 4、等差数列的前和：，。 ①前和是关于的二次函数且常数项为0. 5、等差中项：若成等差数列，则A叫做与的等差中项，且。 ①当时,则有，特别地，当时，则有. 6、若是等差数列 ， ，…也成等差数列. 重难点题型突破1、 等差数列的概念及其定义 一般地，如果一个数列从______________，相邻每一项与它的前一项的差等于同一个______________，那么这个数列就叫做______________，这个常数叫做等比数列的公差；公比通常用字母________表示， 即：____________________________或____________________________。 特别注意：证明或判断等差数列____________________________。 例1．（2024上·山西朔州·高二怀仁市第一中学校校考期末）已知等差数列中，，则数列的公差为（    ） A．4 B．3 C．1 D． 例2．（2024上·广东河源·高二统考期末）若等差数列中，，则（   ） A．12 B．14 C． D． 例3．（2024上·广东深圳·高二统考期末）已知为等差数列，，则 . 例4．（2024上·浙江温州·高二统考期末）已知数列满足，． (1)求证：数列为等差数列； (2)设数列前n项和为，且对任意的恒成立，求k的取值范围． 变式训练1．（2024上·北京通州·高二统考期末）已知等差数列，则等于（    ） A． B．0 C．2 D．5 变式训练2．（2024上·湖北·高二校联考期末）南宋数学家杨辉为我国古代数学研究作出了杰出贡献，他的著名研究成果“杨辉三角”记录于其重要著作《详解九章算法》，该著作中的“垛积术”问题介绍了高阶等差数列．以高阶等差数列中的二阶等差数列为例，其特点是从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列．若某个二阶等差数列的前4项分别为：，则该数列的第11项为（    ） A．190 B．192 C．194 D．196 变式训练3．（2024·上海·高二专题练习）已知等差数列满足，则 . 变式训练4．（2024上·广东广州·高二统考期末）已知数列满足，， (1)求证：数列为等差数列； (2)设，记集合中元素的个数为，求使成立的最小正整数的值. 重难点题型突破2、等差数列的通项公式 等差数列的通项公式：____________________________或____________________________。 ①当时，等差数列的通项公式是关于的一次函数，且斜率为公差； ②若公差，则为递增等差数列；若公差，则为递减等差数列；若公差，则为常数列。 例5．（2024上·四川内江·高二统考期末）若数列为等差数列且，，则数列的通项公式 . 例6．（2023·全国·高二假期作业）等差数列的公差，且，则数列的通项公式是（    ） A． B． C． D． 例7．（2023上·甘肃临夏·高二校考期末）数列3，5，7，9，…的通项公式（    ） A． B． C． D． 例8．（2024上·湖南·高二校联考期末）（多选题）等差数列的前n项和为，若，，则（    ） A．的公差为1 B．的公差为2 C． D． 变式训练5．（2024上·上海·高二复旦附中校考期末）数列的首项且对任意，恒成立，则 . 变式训练6．（2022上·甘肃陇南·高二校考期末）已知数列（）为等差数列，且，，则数列的通项公式为 . 变式训练7．（2023下·广东深圳·高二校联考期中）在等差数列中，，，则数列的通项公式 . 变式训练8．（2024上·陕西榆林·高二统考期末）（多选题）如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法-商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，设第层有个球，从上往下层球的总数为，则（    ） A． B． C． D． 重难点题型突破3、等差中项 若成等差数列，则A叫做与的_____________，且__________________。 ①当时,则有，特别地，当时，则有. 例9．（2023上·安徽滁州·高二校考阶段练习）已知数列是等差数列，，则 ． 例10．（2022上·河南驻马店·高二统考期末）