4.1 数列的概念（五大重难点题型精讲）-【冲刺满分】2023-2024学年高二数学重难点突破+分层训练同步精讲练（人教A版2019选择性必修第二册）

4.1 数列的概念 知识点一、数列的概念 （1）数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项． （2）数列与函数的关系：从函数观点看，数列可以看成以正整数集（或它的有限子集）为定义域的函数当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值．　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　 （3）数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和通项公式法． 知识点二、数列的分类 （1）按照项数有限和无限分： （2）按单调性来分： 知识点三、数列的两种常用的表示方法 （1）通项公式：如果数列的第项与序号之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．　　　　 　　　　　　　　　　　　　　 （2）递推公式：如果已知数列的第1项（或前几项），且从第二项（或某一项）开始的任一项与它的前一项（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式． 【解题方法总结】 （1）若数列的前项和为，通项公式为，则 注意：根据求时，不要忽视对的验证． （2）在数列中，若最大，则若最小，则 重难点题型一：猜想数列的通项公式 例1．（2024上·江苏南通·高二统考期末）数列的通项公式可能是（    ） A． B． C． D． 例2．（2024上·吉林长春·高二校考期末）已知数列的前项和,则数列的通项公式为 . 例3．（2024上·安徽·高二安徽省利辛县第一中学校联考期末）已知数列的前5项依次为1，，，，，则的一个通项公式为（    ） A． B． C． D． 例4．（2024上·贵州铜仁·高二统考期末）若数列的前五项分别为，，，，，则下列最有可能是其通项公式的是（    ） A． B． C． D． 变式训练1．（2023上·湖北武汉·高二武汉市第六中学校考阶段练习）根据下面的图形及相应的点数，写出下列点数构成数列的第5项的点数 ．    变式训练2．（2023上·重庆黔江·高二重庆市黔江中学校校考阶段练习）已知数列，，，，，，，，，，，，则该数列的第项为 . 变式训练3．（2024上·广西·高二南宁三中校联考期末）如图所示是一系列有机物的结构简图，途中的“小黑点”表示原子，两黑点间的“短线”表示化学键，按图中结构第n个图的化学键和原子的个数之和为 个.(用含n的代数式表示) 重难点题型二：数列的周期性 例5．（2024上·海南海口·高二海南中学校考期末）在数列中，，则（    ） A． B．1 C． D．2 例6．（2023上·湖南株洲·高二株洲二中校考阶段练习）已知数列中，，则 ． 变式训练4．（2024上·山西忻州·高二统考期末）若数列满足，，则（    ） A． B．11 C． D． 变式训练5．（2023下·湖南岳阳·高二湖南省岳阳县第一中学校考期末）已知是的前n项和，，，则（    ） A． B． C． D．是以3为周期的周期数列 重难点题型三：数列的单调性与最值问题 例7．（2024上·陕西·高二陕西师大附中校考期末）已知数列的通项公式为，则的最小项的值为 ． 例8．（2024·全国·高三专题练习）已知，则从第（    ）项起，这个数列是递增的． A．1 B．2 C．3 D．4 变式训练6．（2024上·天津南开·高二统考专题练习）已知数列满足，则的最小值为 . 变式训练7．（2023上·四川雅安·高三校联考期中）已知数列满足，，若对于任意正整数，都有，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 重难点题型四：数列中的规律性问题 例9．（2023上·海南省直辖县级单位·高二嘉积中学校考期末）（多选题）已知数列满足，若，则下列是数列的项的是（    ） A． B． C． D． 例10．（2024·全国·模拟预测）公元前6世纪，希腊的毕达哥拉斯学派研究数的概念时，常常把数描绘成沙滩上的小石子，用它们进行各式各样的排列和分类，叫作“形数”．用3颗石子可以摆成一个正三角形，同样用6颗石子或者10颗石子可以摆成更大的三角形．毕达哥拉斯学派把1，等叫作“三角数”或“三角形数”．同时他们还摆出了正方形数、五边形数、六边形数和其他多边形数．如图所示即摆出的六边形数，那么第20个六边形数为（    ） A．778 B．779 C．780 D．781 变式训练8．（2024上·广西·高二南宁三中校联考期末）如图所示是一系列有机物的结构简图，途中的“小黑点”表示原子，两黑点间的“短线”表示化学键，按图中结构第n个图的化学键和原子的个数之和为 个.(用含n的代数式表示) 变式训练9．（2024上·湖北·高二湖北省武汉市汉铁高级中学校联考期末）1852年，英国来华