6.4 平面向量的应用（七大重难点题型精讲）-【冲刺满分】2023-2024学年高一数学重难点突破+分层训练同步精讲练（人教A版2019必修第二册）

6.4 平面向量的应用 考点一 向量在平面几何中的应用 (1)用向量解决常见平面几何问题的技巧： 问题类型 所用知识 公式表示 线平行、点共线等问题 共线向量定理 a∥b⇔a＝λb⇔x1y2－x2y1＝0， 其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，b≠0 垂直问题 数量积的运算性质 a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0， 其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且a，b为非零向量 夹角问题 数量积的定义 cos θ＝(θ为向量a，b的夹角)，其中a，b为非零向量 长度问题 数量积的定义 |a|＝＝， 其中a＝(x，y)，a为非零向量 (2)用向量方法解决平面几何问题的步骤 平面几何问题向量问题解决向量问题解决几何问题。 考点二 正弦定理和余弦定理 1.在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则 定理 正弦定理 余弦定理 公式 ＝＝＝2R a2＝b2＋c2－2bccosA；b2＝c2＋a2－2cacosB； c2＝a2＋b2－2abcosC 常见 变形 (1)a＝2Rsin A，b＝2RsinB，c＝2RsinC； (2)sin A＝，sin B＝，sin C＝； (3)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC； (4)asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A cos A＝； cos B＝； cos C＝ 2.S△ABC＝absin C＝bcsin A＝acsin B＝＝(a＋b＋c)·r(r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R，r. 3.在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下： A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 a＝bsin A bsin A<a<b a≥b a>b a≤b 解的个数 一解 两解 一解 一解 无解 考点三：相关应用 （1）正弦定理的应用 ①边化角，角化边 ②大边对大角 大角对大边 ③合分比： （2）内角和定理： ① 同理有：，． ②； ③斜三角形中， ④； ⑤在中，内角成等差数列 重难点题型一：平面向量在平面几何中的应用 例1．（2023上·山东德州·高三德州市第一中学校考阶段练习）已知向量，，则（    ） A．30° B．150° C．60° D．120° 例2．（2023下·安徽滁州·高一校联考阶段练习）如图，在矩形中，与的交点为为边上任意一点（包含端点），则的最大值为 .    变式训练1．（2023·江苏·高一专题练习）若向量， 与的夹角为钝角，则实数λ的取值范围是（　　） A． B． C． D． 变式训练2．（2022下·高一单元测试）若两个非零向量满足，则向量与的夹角是（   ） A． B． C． D． 重难点题型二：正弦定理 例3．（2024上·北京朝阳·高三统考期末）在中，若，则（    ） A． B． C． D． 例4．（2022上·陕西咸阳·高二咸阳市实验中学校考开学考试）在中，，则外接圆的面积为（    ） A． B． C． D． 例5．（2024下·上海·高一假期作业）在中，角，，所对的边分别是，，，且，则 例6．（2023上·上海虹口·高三校考期中）设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则的面积为 ． 变式训练3．（2023·青海·校联考模拟预测）在中，角所对的边分别为.若，则（    ） A． B． C． D． 变式训练4．（2023上·福建莆田·高三莆田第十中学校考期中）在中，B=120°，，A的角平分线，则AC=（　  　）. A．2 B．2 C．4 D．2 变式训练5．（2022上·陕西咸阳·高二咸阳市实验中学校考阶段练习）在中，，，，则 . 变式训练6．（2023上·全国·高三专题练习）在中，，，，求的内切圆半径 ． 重难点题型三：余弦定理 例7．（2024·上海·高一假期作业）若△ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c满足，且，则的值为 . 例8．（2023上·全国·高三专题练习）的内角，，所对的边分别为，，.已知，则 ． 例9．（2020·北京丰台·统考二模）在中，，，，则的面积为（　　） A． B． C． D． 例10．（2023下·广东湛江·高一湛江市第二中学校考期中）（多选题）已知中，角，，的对边分别为，，，且，，，则（    ） A． B． C．3 D． 变式训练7．（2023上·新疆·高二学业考试）在中，已知，，，则 . 变式训练8．（2023·河南开封·统考一模）记的内角，，的对边分别为，，，若，，则