3.1.3组合与组合数第2课时组合数的应用 学案-2023-2024学年高二下学期数学人教B版（2019）选择性必修第二册

第2课时　组合数的应用 [课标解读]　能够结合具体实例，理解排列、组合与两个计数原理的关系，能够运用两个计数原理推导排列、组合的相关公式，并能够运用它们解决简单的实际问题． 【教材要点】 知识点一　组合与排列的异同点 共同点：排列与组合都是从n个________对象中取出m(m≤n)个对象． 不同点：排列与对象的________有关，组合与对象的________无关． 知识点二　应用组合知识解决实际问题的四个步骤 (1)判断：判断实际问题是否是组合问题． (2)方法：选择利用直接法还是间接法解题． (3)计算：利用组合数公式结合两个计数原理计算． (4)结论：根据计算结果写出方案个数． 【基础自测】 1．把三张游园票分给10个人中的3人，分法有________种． 2．甲、乙、丙三位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有________种． 3．将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有________种．(用数字作答) 4．将7名学生分配到甲、乙两个宿舍中，每个宿舍至少安排2名学生，那么互不相同的分配方案共有________种． 题型1　无限制条件的组合问题 例1　在一次数学竞赛中，某学校有12人通过了初试，学校要从中选出5人参加市级培训．在下列条件下，有多少种不同的选法？ (1)任意选5人； (2)甲、乙、丙三人必须参加； (3)甲、乙、丙三人不能参加； (4)甲、乙、丙三人只能有1人参加． 状元随笔　本题属于组合问题中的最基本的问题，可根据题意分别对不同问题中的“含”与“不含”作出正确分析和判断，弄清每步从哪里选，选出多少等问题． 方法归纳 解答简单的组合问题的思考方法 1．弄清要做的这件事是什么事． 2．选出的对象是否与顺序有关，也就是看看是不是组合问题． 3．结合两个计数原理，利用组合数公式求出结果． 跟踪训练1　[2022·北京西城高二模拟]从2位女生，4位男生中选出3人参加垃圾分类宣传活动． (1)共有多少种不同的选择方法？ (2)如果至少有1位女生入选，共有多少种不同的选择方法？ 题型2　有限制条件的组合问题 例2　高二(1)班共有35名同学，其中男生20名，女生15名，今从中选出3名同学参加活动． (1)其中某一女生必须在内，不同的选法有多少种？ (2)其中某一女生不能在内，不同的选法有多少种？ (3)恰有2名女生在内，不同的选法有多少种？ (4)至少有2名女生在内，不同的选法有多少种？ (5)至多有2名女生在内，不同的选法有多少种？ 状元随笔　可从整体上分析，进行合理分类，弄清关键词“恰有”“至少”“至多”等字眼，使用两个计数原理解决． 方法归纳 常见的限制条件及解题方法 1．特殊对象：若要选取的对象中有特殊对象，则要以有无特殊对象，特殊对象的多少作为分类依据． 2．含有“至多”“至少”等限制语句：要分清限制语句中所包含的情况，可以此作为分类依据，或采用间接法求解． 3．分类讨论思想：解题的过程中要善于利用分类讨论思想，将复杂问题分类表达，逐类求解． 跟踪训练2　“抗震救灾，众志成城”，某医院从10名医疗专家中抽调6名奔赴赈灾前线，其中这10名医疗专家中有4名是外科专家．问： (1)抽调的6名专家中恰有2名是外科专家的抽调方法有多少种？ (2)至少有2名外科专家的抽调方法有多少种？ (3)至多有2名外科专家的抽调方法有多少种？ 题型3　组合在几何中的应用 例3　平面内有12个点，其中有4个点共线，此外再无任何3点共线．以这些点为顶点，可构成多少个不同的三角形？ 　解答本题可以从共线的4个点中选取2个、1个、0个作为分类标准，也可以从反面考虑，任意三点的取法种数减去共线三点的取法种数． 方法归纳 1．解决几何图形中的组合问题，首先应注意运用处理组合问题的常规方法分析解决问题，其次要注意从不同类型的几何问题中抽象出组合问题，寻找一个组合的模型加以处理． 2．图形多少的问题通常是组合问题，要注意共点、共线、共面、异面等情形，防止多算．常用直接法，也可采用排除法． 跟踪训练3　四面体的一个顶点为A，从其他顶点和各棱中点中取3个点，使它们与点A在同一平面上，有多少种不同的取法？ 题型4　分组分配问题 例4　将6本不同的书分为三组，在下列条件下分别有多少种不同的分配方法？ (1)每组2本(平均分组)； (2)一组1本，一组2本，一组3本(不平均分组)； (3)一组4本，另外两组各1本(局部平均分组). 方法归纳 一般地，n个不同的对象分成p组，各组内元素数目分别为m1，m2，…，mp，其中k组元素数目相等，那么分组方法数是，简言之，部分平均分组，有“几个”平均分就除以“几”的阶乘． 跟踪训练4　将6本不同的书分给甲、乙、丙三人，在下列条件下分别有