3.1.3组合与组合数第1课时组合与组合数及组合数性质 学案-2023-2024学年高二下学期数学人教B版（2019）选择性必修第二册

第1课时　组合与组合数及组合数性质 [课标解读]　1.通过实例，理解组合的概念；能利用计数原理、排列定义推导组合数公式.2.能够结合具体实例，理解排列、组合与两个计数原理的关系，能够运用两个计数原理推导排列、组合的相关公式，并能够运用它们解决简单的实际问题． 【教材要点】 知识点一　组合的概念 一般地，从n个不同对象中取出m(m≤n)个对象并成________，称为从n个不同对象中取出m个对象的一个组合． 知识点二　组合数的概念 从n个不同对象中取出m(m≤n)个对象的________的个数，称为从n个不同对象中取出m个对象的组合数，用符号C表示． 知识点三　组合数公式及其性质 (1)公式：＝________＝________． (2)性质：＝________，＋＝________． (3)规定：＝________． 【基础自测】 1.下列判断不正确的是(　　) A.两个组合相同的充要条件是组成组合的对象完全相同 B．从a1，a2，a3三个不同对象中任取两个对象组成一个组合，所有组合的个数为C C．从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某两个乡镇的社会调查，有多少种不同的选法是组合问题 D．从甲、乙、丙3名同学中选出2名，有3种不同的选法 2．从2，3，5，7，11中每次选出两个不同的数作为分数的分子、分母，则可产生不同的分数的个数是________，其中真分数的个数是________． 3．＝________，＝________． 4．从3，5，7，11这四个数中任取两个相乘，可以得到不相等的积的个数为________． 题型1　组合的概念 例1　判断下列各事件是排列问题还是组合问题． (1)10支球队以单循环进行比赛(每两队比赛一次)，这次比赛需要进行多少场次？ (2)10支球队以单循环进行比赛，这次比赛冠、亚军获得者有多少种可能？ (3)从10个人里选3个代表去开会，有多少种选法？ (4)从10个人里选出3个不同学科的课代表，有多少种选法？ 状元随笔　要确定是组合还是排列问题，只需确定取出的对象是否与顺序有关． 方法归纳 1．根据排列与组合的定义进行判断，区分排列与组合问题，先确定完成的是什么事件，然后看问题是否与顺序有关，与顺序有关的是排列，与顺序无关的是组合． 2．区分有无顺序的方法 把问题的一个选择结果写出来，然后交换这个结果中任意两个对象的位置，看是否会产生新的变化，若有新变化，即说明有顺序，是排列问题；若无新变化，即说明无顺序，是组合问题． 跟踪训练1　判断下列问题是组合还是排列，并用组合数或排列数表示出来． (1)若已知集合{1，2，3，4，5，6，7}，则集合的子集中有3个元素的有多少？ (2)8人相互发一个电子邮件，共发了多少个邮件？ (3)在北京、上海、广州、成都四个民航站之间的直达航线上，有多少种不同的飞机票？有多少种不同的飞机票价？ (4)从集合{1，2，3，4}中任取两个不同对象相乘，有多少个不同的结果？完成的“这件事”指的是什么？ (5)从集合{1，2，3，4}中任取两个不同对象相除，有多少个不同结果？这是排列问题，还是组合问题？完成的“这件事”指的是什么？ 题型2　组合的列举问题(逻辑推理) 例2　已知A，B，C，D，E五个元素，写出每次取出3个元素的所有组合． 方法归纳 1．此类列举所有从n个不同元素中选出m个元素的组合，可借助本例所示的“顺序后移法”(如法一)或“树形图法”(如法二)，直观地写出组合，做到不重复不遗漏． 2．由于组合与顺序无关．故利用“顺序后移法”时箭头向后逐步推进，且写出的一个组合不可交换位置．如写出ab后，不必再交换位置为ba，因为它们是同一组合．画“树形图”时，应注意顶层及下枝的排列思路，防止重复或遗漏． 跟踪训练2　从5个不同的对象a，b，c，d，e中取出2个，写出所有不同的组合． 题型3　组合数公式的应用 例3　(1)计算－·. (2)求证：＝. (3)从乒乓球运动员男5名、女6名中组织一场混合双打比赛，不同的组合方法种数为(　　) A． B． C． D． 状元随笔　根据题目的特点，选择适当的组合数公式进行求值或证明． 方法归纳 关于组合数计算公式的选取 1．涉及具体数字的可以直接用公式＝＝计算． 2．涉及字母的可以用阶乘式＝计算． 3．计算时应注意利用组合数的性质＝简化运算． 跟踪训练3　(1)可表示为(　　) A． B． C． D． (2)算式可以表示为(　　) A． B． C．21 D．21 (3)新冠病毒爆发初期，全国支援武汉的活动中，需要从A医院某科室的6名男医生、4名女医生中分别选派3名男医生和2名女医生，则不同的选派方案共有________种．(用数字作答) 题型4　组合的性质 【思考探究】 1．试用两种方法求：从a，b，c，d，e 5人中选出3人