3.4 复数的三角表示-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修第二册同步课堂高效讲义教师用书（湘教版2019）

*3．4　复数的三角表示 [课标解读]　了解复数的三角表示、代数表示与三角表示之间的关系． 知识点一　i2＝－1的几何意义 虚数单位i乘任意复数z的几何意义是：将复数z对应的平面向量旋转90°． 知识点二　旋转任意角 用cos α＋isin α乘任意复数z，其几何意义是：将复数z对应的平面向量旋转角α． 知识点三　复数的三角形式 1．定义：任何一个复数z＝a＋bi都可以表示成r(cos_θ＋isin_θ)的形式．其中，r是复数z的模；θ是以x轴的正半轴为始边，向量所在射线(射线OZ)为终边的角，叫作复数z＝a＋bi的辐角．r(cos_θ＋isin_θ)叫作复数z＝a＋bi的三角形式． 2．辐角：辐角记作arg z＝θ，若θ是z的一个辐角，则z的全部辐角arg z＝θ＋2kπ(k∈Z)． 知识点四　复数三角形式的运算 1．乘法运算法则 设z1＝r1(cos θ1＋isin θ1)，z2＝r2(cos θ2＋isin θ2)，则z1z2＝r1r2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]．即：两个复数乘积的模等于它们的模的积，积的辐角等于它们的辐角之和． z1·z2·…·zn＝r1r2…rn[cos(θ1＋θ2＋…＋θn)＋isin (θ1＋θ2＋…＋θn)]，其中n∈N＋． 如果r1＝r2＝…＝rn＝r，θ1＝θ2＝…＝θn＝θ． 则有[r(cos θ＋isin θ)]n＝rn(cos nθ＋isin nθ)，其中n∈N＋．这个式子称为棣莫弗公式． 2．除法运算法则 设z1＝r1(cos θ1＋isin θ1)，z2＝r2(cos θ2＋isin θ2)，且z1≠z2，z2≠0，则＝[cos(θ1－θ2)＋isin(θ1－θ2)]．即：两个复数相除(除数不为0)，商的模等于它们的模的商，商的辐角等于它们的辐角之差． [点拨]　复数三角形式的特征 (1)r≥0； (2)辐角不唯一； (3)cos θ与isin θ之间用“＋”号连接． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)复数的辐角是唯一的．(　　) (2)z＝cos θ－isin θ是复数的三角形式．(　　) 学生用书第74页 (3)z＝－2(cos θ＋isin θ)是复数的三角形式．(　　) (4)复数z＝cos π＋isin π的模是1，辐角的主值是π．(　　) 答案：　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．×＝(　　) A．1 B．－1 C．i D．－i C　[原式＝cos ＋isin ＝cos ＋isin ＝i．故选C．] 3．4(cos π＋isin π)÷＝(　　) A．1＋i B．1－i C．－1＋i D．－1－i C　[原式＝2 ＝2＝－1＋i．] 4．复数6的代数形式为________． 解析：　原式＝6cos ＋6isin ＝6i． 答案：　6i 探究点一　复数的代数形式与三角形式的互化 (1)把复数3－i的代数形式化成三角形式； (2)把复数4的三角形式化成代数形式． 解析：　(1)r＝ ＝2，cos θ＝， 因为3－i对应的点在第四象限，所以arg(3－i)＝，所以3－i＝2． (2)4 ＝4cos ＋i ＝4×＋4×i ＝2＋2i． 复数的代数形式化成三角形式的步骤 (1)求复数的模； (2)确定辐角所在的象限； (3)根据象限求出辐角； (4)求出复数的三角形式．　　 即时练1．将复数－i的代数形式化成三角形式． 解析：　r＝ ＝2，cos θ＝． 因为－i对应的点在第四象限， 所以arg(－i)＝， 所以－i＝2． 即时练2．将复数3的三角形式化成代数形式． 解析：　3 ＝3cos ＋i ＝3×＋3×i ＝－－i． 探究点二　复数三角形式的乘除运算 (1)2(cos 210°＋isin 210°)×5(－sin 30°＋isin 60°)＝__________(用代数形式表示)． (2)6÷[3(cos 135°＋isin 135°)]＝________． 解析：　(1)2(cos 210°＋isin 210°)×5(－sin 30°＋isin 60°) ＝10(cos 210°＋isin 210°)×(cos 120°＋isin 120°) ＝10[cos (210°＋120°)＋isin(210°＋120°)] ＝10(cos 330°＋isin 330°) ＝10 ＝5－5i． (2)6÷[3(cos 135°＋isin 135°)] ＝6(cos 0°＋isin 0°)÷[3(cos 135°＋isin 135°)] ＝2[cos(0°－135°)＋isin(0°－135°)] ＝2[cos(－135°)＋isin(－135°)]＝2(－－i) ＝－－i． 答案：　(1)5－5i　(2)－－