3.2 复数的四则运算-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修第二册同步课堂高效讲义教师用书（湘教版2019）

3．2　复数的四则运算 [课标解读]　1．掌握复数代数形式的加减乘除运算．2．掌握复数的加、减法满足的运算律．3．能在复数集内解简单的一元二次方程． 知识点一　复数的加减法 1．复数的加、减法运算法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i，z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i． 2．复数加法的运算律 (1)交换律：z1＋z2＝z2＋z1； (2)结合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)． [点拨]　把复数的代数形式看成关于“i”的多项式，则复数的加、减法类似于多项式的加、减法，只需“合并同类项”即可． 知识点二　复数的乘法与乘方 1．复数的乘法法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)， 则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i． 学生用书第67页 2．复数乘法的运算律 对任意复数z1，z2，z3，有 交换律 z1·z2＝z2·z1 结合律 (z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3) 分配律 z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3 3．复数的乘方 复数的乘方运算是指几个相同复数相乘，即对任何复数z，z1，z2及正整数m，n有 zm·zn＝zm＋n， (zm)n＝zmn， (z1·z2)n＝z·z． [点拨]　in(n∈N*)：因为i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＝1，所以in(n∈N*)以4为周期的式子． 知识点三　复数的除法 　对任意两个复数a＋bi，c＋di，有＝＋i(a，b，c，d∈R，且c＋di≠0)． [点拨]　对复数除法的两点说明 (1)实数化：分子、分母同乘以c－di，化简后即得结果，这个过程实际上就是把分母实数化，这与根式除法的分母“有理化”很类似； (2)代数式：注意最后结果要将实部、虚部分开． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个虚数的和或差可能是实数．(　　) (2)若复数z1，z2满足z1－z2>0，则z1>z2．(　　) (3)在进行复数的加法时，实部与实部相加得实部，虚部与虚部相加得虚部．(　　) (4)两个复数的积与商一定是虚数．(　　) 答案：　(1)√　(2)×　(3)√　(4)× 2．已知i是虚数单位，则复数z＝(3＋i)＋(－3－2i)的虚部是(　　) A．1 B． C．－1 D．－i C　[z＝(3＋i)＋(－3－2i)＝(3－3)＋(1－2)i＝－i，故复数z的虚部为－1．] 3．若z(1＋i)＝2i，则z＝(　　) A．－1－i B．－1＋i C．1－i D．1＋i D　[由z(1＋i)＝2i，得z＝＝＝＝i(1－i)＝1＋i．] 4．＝________． 解析：　＝＝＝＝＋i． 答案：　＋i 探究点一　复数的加减法运算 (1)计算：(5－6i)＋(－2－i)－ (3＋4i)； (2)设z1 ＝x＋2i，z2＝3－yi(x，y∈R)，若z1＋z2 ＝5－6i，求z1－z2． 解析：　(1)原式＝(5－2－3)＋(－6－1－4)i＝－11i． (2)因为z1＝x＋2i，z2＝3－yi，z1＋z2＝5－6i， 所以(3＋x)＋(2－y)i＝5－6i． 所以所以所以z1－z2＝(2＋2i)－(3－8i)＝(2－3)＋[2－(－8)]i＝－1＋10i． 复数加、减运算的法则 (1)复数代数形式的加、减法运算实质就是将实部与实部相加减，虚部与虚部相加减之后分别作为结果的实部与虚部，因此要准确地提取复数的实部与虚部． (2)复数的运算可以类比多项式的运算(类似于合并同类项)：若有括号，括号优先；若无括号，可以从左到右依次进行计算．　　 即时练1．－i－(－1＋5i)＋(－2－3i)－(i－1)＝________________________． 解析：　－i－(－1＋5i)＋(－2－3i)－(i－1)＝－i＋1－5i－2－3i－i＋1＝－10i． 答案：　－10i 即时练2．已知复数z1＝a2－3－i，z2＝－2a＋a2i，若z1＋z2是纯虚数，则实数a＝________． 解析：　由条件知z1＋z2＝a2－2a－3＋(a2－1)i， 又z1＋z2是纯虚数，所以 解得a＝3． 答案：　3 学生用书第68页 探究点二　复数的乘法运算 (1)(1－i)(－＋i)(1＋i)＝(　　) A．1＋i B．－1＋i C．＋i D．－＋i (2)已知复数(a＋3i)(1＋2i) 是纯虚数，则实数a的值为________． 解析：　(1)(1－i)(1＋i)＝(1－i)· (1＋i)·＝(1－i2) ＝2＝－1＋i． (2)因为(a＋3i)(1＋2i)＝a－6＋3i＋2ai ＝(a－6)＋(3＋2a)i为纯