3.2.1 复数的加减法 -【步步高】2023-2024学年高一数学必修（第二册）学习笔记（湘教版2019）

第1课时　复数的加减法 [学习目标]　1.熟练掌握复数的代数形式的加、减运算法则.2.能灵活运用复数加减法的结合律、交换律解题． 导语 我们引入虚数后，数系扩充到了复数集，那么复数能不能像实数一样进行运算呢？运算法则又是怎样的？带着这些问题让我们一起学习吧！ 一、复数的加减法 问题1　多项式的加减实质是合并同类项，类比想一想复数如何加减？ 提示　两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减)． 问题2　复数的加法满足交换律和结合律吗？试以交换律说明之． 提示　满足．设z1＝a＋bi(a，b∈R)，z2＝c＋di(c，d∈R)，则z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i，z2＋z1＝(c＋di)＋(a＋bi)＝(c＋a)＋(d＋b)i， ∴z1＋z2＝z2＋z1. 知识梳理 1．复数的加法法则 (1)运算法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，则(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i，两个复数的和依然是一个复数． (2)复数的加法运算律 复数的加法满足交换律和结合律，即对任意复数z1，z2，z3，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)． 2．复数的减法法则 复数减法是加法的逆运算，设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，则(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i，两个复数的差还是一个复数． 注意点： 两个复数的和(差)是复数，但两个虚数的和(差)不一定是虚数．如(3－2i)＋2i＝3. 例1　(1)计算：(－7i＋5)－(9－8i)＋(3－2i)； (2)计算：＋(2－i)－； (3)已知z1＝2＋3i，z2＝－1＋2i，求z1＋z2，z1－z2. 解　(1)(－7i＋5)－(9－8i)＋(3－2i) ＝－7i＋5－9＋8i＋3－2i ＝(5－9＋3)＋(－7＋8－2)i＝－1－i. (2)＋(2－i)－ ＝＋i＋2－i－＋i ＝＋i＝1＋i. (3)z1＋z2＝2＋3i＋(－1＋2i)＝1＋5i， z1－z2＝2＋3i－(－1＋2i)＝3＋i. 反思感悟　复数与复数相加减，相当于多项式加减法中的合并同类项，分别将两个复数的实部与实部相加(减)，虚部与虚部相加(减)． 跟踪训练1　计算： (1)(3＋5i)＋(3－4i)； (2)(8－6i)＋(－2－2i)－(3＋3i)． 解　(1)3＋5i＋(3－4i)＝6＋i. (2)(8－6i)＋(－2－2i)－(3＋3i)＝3－11i. 二、复数加减法运算的应用 例2　设m∈R，复数z1＝＋(m－15)i， z2＝－2＋m(m－3)i，若z1＋z2是虚数，求m的取值范围． 解　∵z1＝＋(m－15)i， z2＝－2＋m(m－3)i， ∴z1＋z2＝＋[(m－15)＋m(m－3)]i ＝＋(m2－2m－15)i. ∵z1＋z2是虚数， ∴m2－2m－15≠0，且m＋2≠0. ∴m≠5且m≠－3且m≠－2，m∈R. 即m的取值范围为(－∞，－3)∪(－3，－2)∪(－2，5)∪(5，＋∞)． 反思感悟　(1)对应复数的加法(或减法)可以推广到多个复数相加(或相减)的混合运算． (2)实数集中的加法交换律和结合律在复数集中仍适用． 跟踪训练2　已知z1＝a＋(a＋1)i，z2＝－3b＋(b＋2)i，(a，b∈R)，若z1－z2＝4，求z1，z2. 解　∵z1＝a＋(a＋1)i， z2＝－3b＋(b＋2)i， ∴z1－z2＝＋(a－b－1)i. 又z1－z2＝4， ∴ 解得 ∴z1＝＋3i，z2＝－3＋3i. 三、与复数加减法运算有关的交汇问题 例3　设f(z)＝z－2i，z1＝3＋4i，z2＝－2－i，求f(z1－z2)和f(z1＋z2)的值． 解　∵z1＝3＋4i，z2＝－2－i， ∴z1－z2＝(3＋4i)－(－2－i)＝5＋5i， z1＋z2＝(3＋4i)＋(－2－i)＝1＋3i. ∵f(z)＝z－2i， ∴f(z1－z2)＝(z1－z2)－2i＝(5＋5i)－2i＝5＋3i. f(z1＋z2)＝(z1＋z2)－2i＝(1＋3i)－2i＝1＋i. 反思感悟　此问题以复数的加减运算为载体，考查应用f(z)＝z－2i来解题的能力，求解的关键是读懂f(z)的含义． 跟踪训练3　已知复数z1＝cos α＋isin α，z2＝cos β－isin β，且z1－z2＝＋i，其中i为虚数单位，求cos(α＋β)的值． 解　∵z1＝cos α＋isin α，z2＝cos β－isin β， ∴z1－z2＝(cos α－cos β)＋(sin α＋sin β)i. 又z1－z2＝＋i， ∴ ∴①2＋②2得2－2cos(α＋β)＝1， ∴cos(α＋β)＝. 1．知识清单： (1)复数的加减法． (2)复数加减法运算的应用． (3)与复数加减法运算有关的交汇问题． 2．方法归纳：类比法． 3．常见误区：合并同类项时不细心致误． 1．已知复数z1＝3＋4i，z2＝3－4i，则z1＋z2等于(　　) A．8i B．6 C．6＋8i D．6－8i 答案　B 解析　z1＋z2＝(3＋4i)＋(3－4i)＝6. 2．计算：(5－6i)－(3＋4i)等于(　　) A．2－2i B．2－10i C．－9＋i D．－4－4i 答案　B 解析　(5－6i)－(3＋4i)＝2－10i. 3．若实数x，y满足(x＋i)＋(1－yi)＝2，则xy的值为(　　) A．1 B．2 C．－2 D．－1 答案　A 解析　∵(x＋i)＋(1－yi)＝2，∴ ∴∴xy＝1. 4．已知复数z1＝(a2－2)＋(a－4)i，z2＝a－(a2－2)i(a∈R)，且z1－z2为纯虚数，则a＝________. 答案　－1 解析　∵z1－z2＝(a2－a－2)＋(a－4＋a2－2)i(a∈R)为纯虚数，∴解得a＝－1. 1．复数(1－i)－(2＋i)＋3i＋6等于(　　) A．5＋i B．7－i C．6＋i D．6－i 答案　A 解析　(1－i)－(2＋i)＋3i＋6＝1－i－2－i＋3i＋6＝5＋i. 2．若z＋3－2i＝4＋i，则z等于(　　) A．1＋i B．1＋3i C．－1－i D．－1－3i 答案　B 解析　z＝4＋i－(3－2i)＝1＋3i. 3．复数z1＝2－i，z2＝－2i，则z1＋z2等于(　　) A．0 B.＋i C.－i D.－i 答案　C 解析　z1＋z2＝－i＝－i. 4．设m∈R，复数z＝(2m2＋3i)＋(m－m2i)＋(－1＋2mi)，若z为纯虚数，则m等于(　　) A．－1 B．3 C. D．－1或3 答案　C 解析　因为z＝(2m2＋m－1)＋(－m2＋2m＋3)i为纯虚数，所以解得m＝. 5．实数x，y满足z1＝y＋xi，z2＝yi－x，且z1－z2＝2，则xy的值是(　　) A．1 B．2 C．－2 D．－1 答案　A 解析　因为z1－z2＝y＋xi－(yi－x)＝x＋y＋(x－y)i＝2，所以所以x＝y＝1，所以xy＝1. 6．若(1－i)＋(2＋3i)＝a＋bi(a，b∈R，i是虚数单位)，则a－b等于(　　) A．5 B．1 C．0 D．－3 答案　B 解析　因为(1－i)＋(2＋3i)＝a＋bi，即3＋2i＝a＋bi，所以a＝3，b＝2，所以a－b＝1. 7．若复数z1＋z2＝3＋4i，z1－z2＝5－2i，则z1＝ ________. 答案　4＋i 解析　两式相加得2z1＝8＋2i，∴z1＝4＋i. 8．已知复数z1＝a2－3－i，z2＝－2a＋a2i，若z1＋z2是纯虚数，则实数a＝________. 答案　3 解析　∵z1＋z2＝a2－3－2a＋(a2－1)i为纯虚数， ∴∴a＝3. 9．设z1＝x＋2i，z2＝3－yi(x，y∈R)，且z1＋z2＝5－6i，求z1－z2. 解　由z1＋z2＝(x＋3)＋(2－y)i＝5－6i， ∴∴ ∴z1＝2＋2i，z2＝3－8i， ∴z1－z2＝2＋2i－(3－8i)＝－1＋10i. 10．计算： (1)(2＋4i)＋(3－4i)； (2)(－3－4i)＋(2＋i)－(1－6i)． 解　(1)原式＝2＋4i＋3－4i＝5. (2)(－3－4i)＋(2＋i)－(1－6i)＝(－3＋2－1)＋(－4＋1＋6)i＝－2＋3i. 11．已知i是虚数单位，复数z1＝a＋4i，z2＝－3＋bi，若z1＋z2是实数，z1－z2是纯虚数，则a，b的值分别为(　　) A．－3，－4 B．－3,4 C．3，－4 D．3,4 答案　A 解析　∵z1＝a＋4i，z2＝－3＋bi， ∴z1＋z2＝a－3＋(4＋b)i， z1－z2＝(a＋3)＋(4－b)i， 由题意可知∴ 12．(多选)复数z满足z＝a＋bi(a，b∈R)且a＋bi＋2(a－bi)＝9＋4i，则(　　) A．z＝3＋4i B．z＝3－4i C．z的虚部为－4 D．z的实部为－3 答案　BC 解析　由a＋bi＋2a－2bi＝9＋4i， 得∴∴z＝3－4i，其虚部为－4，实部为3. 13．已知f(z＋i)＝3z－2i，则f(i)＝________. 答案　－2i 解析　设z＝a＋bi(a，b∈R)，则f(a＋(b＋1)i)＝3(a＋bi)－2i＝3a＋(3b－2)i，令a＝0，b＝0，则f(i)＝－2i. 14．已知z1＝(3x＋y)＋(y－4x)i(x，y∈R)，z2＝(4y－2x)－(5x＋3y)i(x，y∈R)．设z＝z1－z2，且z＝13－2i，则z1＝________，z2＝________. 答案　5－9i　－8－7i 解析　z＝z1－z2＝(3x＋y－4y＋2x)＋(y－4x＋5x＋3y)i＝(5x－3y)＋(x＋4y)i＝13－2i. ∴解得 ∴z1＝5－9i，z2＝－8－7i. 15．已知复数z＝(a－1)i＋(ai)2＋1，a∈R，若z＋b＞0，则实数b的取值范围为________． 答案　(0，＋∞) 解析　z＝(a－1)i＋(ai)2＋1＝1－a2＋(a－1)i， 因为z＋b＞0，所以所以b＞0. 16．已知复数z1＝m＋(4－m2)i，z2＝2cos θ＋(λ＋3sin θ)i，λ，m∈R，θ∈，z1－z2＝0，求λ的取值范围． 解　由z1－z2＝0可知，z1＝z2，λ，m∈R，可得 整理得λ＝4sin2θ－3sin θ＝42－. ∵θ∈，∴sin θ∈[0,1]，∴λ∈，即λ的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $$