2.3 简单的三角恒等变换-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修第二册同步课堂高效讲义教师用书（湘教版2019）

2．3　简单的三角恒等变换 [课标解读]　1．了解半角及其推导过程．2．灵活运用和差的正弦、余弦公式进行相关计算及化简、证明．3．掌握并理解辅助角公式． 知识点一　半角公式和万能公式 1．半角公式 2．万能公式(化切表示，齐次分式) sin α＝， cos α＝， tan α＝． 角α(α≠2kπ＋π，k∈Z)的所有三角函数值都可以用tan 来表示，称为“万能公式”． [点拨]　有了半角公式，只需知道cos α的值及相关的角的范围便可求的正弦、余弦、正切的值． 知识点二　积化和差、和差化积公式 1．积化和差公式 (1)sin αcos β＝[sin(α＋β)＋sin(α－β)]， (2)cos αcos β＝[cos(α＋β)＋cos(α－β)]， 学生用书第58页 (3)cos αsin β＝[sin(α＋β)－sin(α－β)]， (4)sin αsin β＝－[cos(α＋β)－cos(α－β)]． 2．和差化积公式 (1)cos α＋cos β＝2coscos， (2)cos α－cos β＝－2sinsin， (3)sin α＋sin β＝2sincos， (4)sin α－sin β＝2cossin． 知识点三　辅助角公式 把两个三角函数的和或差化为“一个三角函数，一个角，一次方”的y＝Asin(ωx＋φ)＋B形式，即asin x＋bcos x＝sin(x＋φ)，其中tan φ＝或者asin x＋bcos x＝cos(x－θ)，其中tan θ＝． [点拨]　推导过程：asin x＋bcos x ＝(sin x＋cos x) ＝(sin xcos φ＋cos xsin φ) ＝sin(x＋φ)，其中tan φ＝； asin x＋bcos x ＝(sin x＋cos x) ＝(cos xcos θ＋sin xsin θ) ＝cos(x－θ)，其中tan θ＝，一定要注意|φ|，|θ|为锐角，辅助角应用时满足“同角，异名，一次”． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)cos ＝ ．(　　) (2)存在α∈R，使得cos ＝cos α．(　　) (3)对于任意α∈R，sin ＝sin α都不成立．(　　) (4)若α是第一象限角，则tan ＝ ．(　　) (5)sin αsin β＝[cos(α－β)－cos(α＋β)]．(　　) 答案：　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√　(5)√ 2．若cos α＝，α∈(0，π)，则cos 的值为(　　) A． B．－ C．± D．± A　[∵cos α＝，α∈(0，π)， ∴∈． ∴cos ＝ ＝ ＝．] 3．若<θ<π，且cos ＝，则sin 等于(　　) A． B． C． D． D　[∵<θ<π且cos ＝． ∴<<且sin ＝ ＝ ＝．] 4．已知sin θ＝，θ∈，则tan 等于________． 解析：　∵sin θ＝，θ∈， ∴∈且cos θ＝． ∴tan ＝ ＝＝． 答案：　 探究点一　应用半角公式求值 已知sin －cos ＝－，450°<α<540°，求sin ，cos ，tan ． 解析：　因为sin －cos ＝－， 所以＝． 所以1－sin α＝， 所以sin α＝． 因为450°<α<540°， 所以225°<<270°， 所以cos α＝－． 所以sin ＝－ ＝－ ＝－， cos ＝ － ＝－ ＝－． tan ＝＝2． 利用半角公式求值的思路 (1)看角：若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍，则求解时常常借助半角公式求解． (2)明范围：由于半角公式求值常涉及符号问题，因此求解时务必依据角的范围，求出相应半角的范围． [提醒]　已知cos α的值可求的正弦、余弦、正切值，要注意确定其符号．　　 学生用书第59页 即时练1．已知cos 2θ＝－，<θ<π，求tan 的值． 解析：　因为cos 2θ＝－，<θ<π，由半角公式得 sin θ＝ ＝ ＝， cos θ＝－＝－ ＝－， 所以tan ＝＝＝． 探究点二　三角函数式的化简 化简：(0<α<π)． 解析：　∵tan ＝， ∴(1＋cos α)tan ＝sin α． 又cos＝－sin α，1－cos α＝2sin2， ∴原式＝＝ ＝． ∵0<α<π，∴0<<，∴sin >0． ∴原式＝－2cos ． 化简问题中的“三变” (1)变角：三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系，通过拆、凑等手段消除角之间的差异，合理选择联系它们的公式． (2)变名：观察三角函数种类的差异，尽量统一函数的名称，如统一为弦或统一为切． (3)变式：观察式子的结构形式的差异，选择适当的变形途径．如升幂、降幂、配方、开方等．　　 即时练2．化简：． 解析：　原式＝＝＝