2.2 二倍角的三角函数-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修第二册同步课堂高效讲义教师用书（湘教版2019）

2．2　二倍角的三角函数 [课标解读]　1．能从两角和的正弦、余弦、正切公式推导出倍角的正弦、余弦、正切公式．2．灵活掌握倍角公式，能利用公式进行三角函数式的化简以及解决实际问题． 知识点　二倍角的正弦、余弦、正切公式 1．二倍角公式 记法 公式 推导 S(2α) sin 2α＝2sin_αcos_α S(α＋β)S(2α) C(2α) cos 2α＝cos2α－sin2α C(α＋β)C(2α) cos 2α＝1－2sin2α cos 2α＝2cos2α－1 利用cos2α＋sin2α＝1 消去sin2α或cos2α T(2α) tan 2α＝ T(α＋β)T(2α) 2．二倍角公式的变换 (1)因式分解变换 cos 2α＝cos2α－sin2α ＝(cos α＋sin α)(cos α－sin α)． (2)配方变换 1±sin 2α＝sin2α＋cos2α±2sin αcos α ＝(sin α±cos α)2． (3)升幂缩角变换 cos 2α＝2cos2α－1，cos 2α＝1－2sin2α． (4)降幂扩角变换 cos2α＝(1＋cos 2α)，sin2α＝(1－cos 2α)， sin αcos α＝sin 2α． [点拨]　倍角公式中的“倍角”是相对的，对于两个角的比值等于2的情况都成立，如6α是3α的2倍，3α是的2倍，这就是说，“倍”是相对而言的，是描述两个角之间的倍数关系． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)4α是2α的二倍角，α是的二倍角．(　　) (2)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角．(　　) (3)α，使得sin 2α＝2sin α成立．(　　) 答案：　(1)√　(2)×　(3)√ 2．cos2－cos2＝(　　) A． B． C． D． D　[cos2－cos2 ＝cos2－cos2 ＝cos2－sin2 ＝cos＝． 故选D．] 3．已知角A、B、C分别是△ABC的三个内角，且cos＝，则cos(B＋C)＝(　　) A．－ B．－ C． D． A　[因为cos＝，且A＋B＋C＝π， 则cos(B＋C)＝cos(π－A)＝－cos A ＝－(2cos2－1)＝－(2×－1)＝－． 故选A．] 4．已知tan α＝－，则＝________． 解析：　原式＝＝ ＝tan α－＝－－＝－． 答案：　－ 学生用书第55页 探究点一　给角求值问题 求下列各式的值． (1)； (2)； (3)tan 15°＋； (4)cos 20°·cos 40°·cos 80°． 解析：　(1)原式＝cos2－sin2 ＝cos (2×)＝cos ＝． (2)原式＝＝＝． (3)原式＝＋＝ ＝＝＝4． (4)原式＝ ＝ ＝ ＝ ＝． 应用二倍角公式求解角的三角函数值的方法 (1)注意观察式子的结构特点及角之间是否存在特殊的倍数关系，灵活正用或逆用二倍角公式． (2)结合诱导公式恰当变换函数名称，灵活处理系数，构造二倍角公式的形式． (3)切弦同时存在时，应注意用tan α＝公式“切化弦”． (4)注意sin αcos α＝sin 2α，sin2α＝(1－cos 2α)，cos2α＝(1＋cos 2α)的应用．　　 即时练1．coscos＝(　　) A． B．－ C．－ D． D　[coscos＝cossin ＝sin ＝，故选D．] 即时练2．求值＝________． 解析：　原式＝＝· ＝·tan 45°＝． 答案：　 探究点二　给值求值问题 如图，在平面直角坐标系中，角α，β的始边均为x轴正半轴，终边分别与圆O交于A，B两点，若α∈(，π)，β＝，且点A的坐标为A(－1，m)． (1)若tan 2α＝－，求实数m的值； (2)若tan∠AOB＝－，求sin 2α的值． 解析：　(1)由题意可得tan 2α＝＝－， ∴tan α＝－或tan α＝2． ∵α∈(，π)，∴tan α＝－，即＝－，∴m＝． (2)∵tan∠AOB＝tan(α－β)＝tan(α－)＝＝－， 又sin2(α－)＋cos2(α－)＝1，α－∈(，)， ∴sin(α－)＝，cos(α－)＝－， ∴sin(2α－)＝2sin(α－)cos(α－)＝－， cos(2α－)＝2cos2(α－)－1＝， ∴sin 2α＝sin＝sin(2α－)cos＋cos(2α－)sin＝． 解决给值求值问题的方法 给值求值问题，注意寻找已知式与未知式之间的联系，有两个观察方向： (1)有方向地将已知式或未知式化简，使关系明朗化； (2)寻找角之间的关系，看是否适合相关公式的使用，注意常见角的转换和角之间的二倍关系． 学生用书第56页 (3)注意几种公式的灵活应