2.1.3 两角和与差的正切公式-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修第二册同步课堂高效讲义教师用书（湘教版2019）

2．1．3　两角和与差的正切公式 [课标解读]　1．能从两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式，了解它们的内在联系．2．理解两角和与差的正切公式，并能利用公式解决简单的三角函数式的求值、化简和证明问题． 知识点　两角和与差的正切公式 1．两角和与差的正切公式 名称 简记符号 公式 适用条件 两角和的正切公式 T(α＋β) tan(α＋β) ＝ α，β，α＋β≠kπ＋(k∈Z)且tan α·tan β≠1 两角差的正切公式 T(α－β) tan(α－β) ＝ α，β，α－β≠kπ＋(k∈Z)且tan α·tan β≠－1 2．两角和与差的正弦、余弦、正切公式间的关系 和角公式：将求两角和α＋β的正弦、余弦、正切公式称为和角公式． 差角公式：将求两角差α－β的正弦、余弦、正切公式称为差角公式． 两角和与差的正弦、余弦、正切公式间的联系： [点拨]　公式的结构特征及符号特征如下： (1)公式T(α±β)的右侧为分式形式，其中分子为tan α与tan β的和或差，分母为1与tan αtan β的差或和． (2) 符号变化规律可简记为“分子同，分母反”． (3)重要变形： tan(α＋β)＝tan α＋tan β＋tan αtan βtan(α＋β)． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)存在α，β∈R，使tan(α＋β)＝tan α＋tan β成立．(　　) (2)对任意的α，β∈R，tan(α＋β)＝都成立．(　　) (3)tan能根据公式tan(α－β)直接展开．(　　) 答案：　(1)√　(2)×　(3)× 2．计算等于(　　) A． B． C． D． C　[原式＝tan(45°－15°)＝tan 30°＝．] 3．已知tan α＝2，tan β＝5，则tan(α＋β)等于(　　) A．7 B． C．－ D． C　[tan(α＋β)＝＝＝－．] 4．若tan α＝，tan(α＋β)＝，则tan β＝________． 解析：　∵tan α＝，tan(α＋β)＝， ∴tan β＝tan[(α＋β)－α]＝＝＝． 答案：　 学生用书第52页 探究点一　给角求值问题 化简求值： (1)； (2)tan ＋tan ＋tan tan ； (3)(tan 10°－)·． 解析：　(1)＝tan(74°＋76°)＝tan 150°＝－tan 30°＝－． (2)tan ＋tan ＋tan tan ＝tan＋tan tan ＝＋tan tan ＝． (3)方法一：原式＝(tan 10°－tan 60°)· ＝· ＝· ＝－ ＝－2． 方法二：原式＝· ＝· ＝ ＝ ＝－2． 利用公式T(α±β)化简求值的两点说明 (1)分析式子结构，正确选用公式形式： T(α±β)是三角函数公式中应用灵活程度较高的公式之一，因此在应用时先从所化简(求值)式子的结构出发，确定是正用、逆用还是变形用，并注意整体代换． (2)化简求值中要注意“特殊值”的代换和应用：当所要化简(求值)的式子中出现特殊的数值“1”，“”时，要考虑用这些特殊值所对应的特殊角的正切值去代换，如“1＝tan ”，“＝tan ”，这样可以构造出利用公式的条件，从而可以进行化简和求值．　　 即时练1．等于(　　) A．－1 B．1 C． D．－ B　[原式＝＝＝1．故选B．] 即时练2．tan 11°＋tan 19°＋tan 11°tan 19°的值是(　　) A． B． C．0 D．1 D　[tan 11°＋tan 19°＋tan 11°tan 19° ＝(tan 11°＋tan 19°)＋tan 11°tan 19° ＝tan(11°＋19°)(1－tan 11°tan 19°)＋tan 11°tan 19°＝tan 30°(1－tan 11°tan 19°)＋tan 11°tan 19° ＝×(1－tan 11°tan 19°)＋tan 11°tan 19°＝1． 故选D．] 探究点二　给值求值问题 已知tan＝，tan＝2，求： (1)tan的值； (2)tan(α＋β)的值． 解析：　(1)tan ＝tan ＝ ＝＝－． (2)tan(α＋β)＝tan ＝ ＝＝2－3． 给值求值问题的两种变换 (1)式子的变换：分析已知式子的结构特点，结合两角和与差的三角函数公式，通过变形，建立与待求式子间的联系以实现求值．　　 (2)角的变换：首先从已知角间的关系入手，分析已知角与待求角间的关系，如用α＝β－(β－α)、2α＝(α＋β)＋(α－β)等关系，把待求的三角函数与已知三角函数巧妙地建立等量关系，从而求值． 即时练3．已知tan(α＋)＝，且－<α<0，则＝________ ． 解析：　∵