2.1.2 两角和与差的正弦公式-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修第二册同步课堂高效讲义教师用书（湘教版2019）

2．1．2　两角和与差的正弦公式 [课标解读]　1．能从两角和与差的余弦公式推导出两角和与差的正弦公式，了解它们的内在联系．2．理解两角和与差的正弦公式，并能利用公式解决简单的三角函数式的求值、化简和证明问题． 知识点　两角和与差的正弦公式 名称 简记符号 公式 使用条件 两角和的 正弦公式 S(α＋β) sin(α＋β)＝ sin_αcos_β＋cos_αsin_β α，β∈R 两角差的 正弦公式 S(α－β) sin(α－β)＝ sin_αcos_β－cos_αsin_β α，β∈R [点拨]　(1)理顺公式间的逻辑关系 C(α－β)C(α＋β)S(α＋β)S(α－β) (2)注意公式的结构特征和符号规律 对于公式S(α＋β)，S(α－β)可记为“异名相乘，符号同”． 符号变化是公式应用中易错的地方，特别是公式S(α－β)，且公式sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β，角α，β的“位置”要特别注意． (3)在△ABC中，A＋B＋C＝π，则 sin(A＋B)＝sin C，sin(A＋C)＝sin B，sin(B＋C)＝sin A； sin()＝cos，sin()＝cos，sin()＝cos． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的．(　　) (2)存在α，β∈R，使得sin(α－β)＝sin α－sin β成立．(　　) (3)sin(α－β)＝sin βcos α－sin αcos β．(　　) 答案：　(1)√　(2)√　(3)× 2．sin 105°的值为(　　) A． B． C． D． D　[sin 105°＝sin(45°＋60°)＝sin 45°cos 60°＋cos 45°sin 60°＝×＋×＝．] 3．已知sin α＝，cos β＝，且α是第二象限角，β是第四象限角，那么sin (α－β)等于(　　) A． B． C．－ D．－ A　[因为α是第二象限角且sin α＝， 所以cos α＝－ ＝－． 又因为β是第四象限角，且cos β＝， 所以sin β＝－ ＝－． 所以sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β ＝×－×＝．] 4．已知sin α＝，α∈，则sin＝______________________________． 解析：　因为sin α＝，α∈， 所以cos α＝－＝－， 所以sin＝sin αcos －sin cos α ＝×－×＝． 答案：　 探究点一　给角求值问题 化简求值： (1)sin 119°sin 181°－sin 91°sin 29°； (2)． 解析：　(1)原式＝sin(29°＋90°)·sin(1°＋180°)－sin(1°＋90°)sin 29° ＝cos 29°(－sin 1°)－cos 1° sin 29° ＝－(cos 29°sin 1°＋cos 1°sin 29°) ＝－sin(1°＋29°)＝－sin 30° ＝－． (2)原式＝ ＝ ＝ ＝＝． 学生用书第49页 解决给角求值问题的策略 (1)对于非特殊角的三角函数式的求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角函数式的形式，则整体变形，否则进行各局部变形．　　 (2)一般途径有：将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，变换分子、分母的形式进行约分．解题时要注意逆用或变用公式． 即时练1．cos 70°sin 50°－cos 200°sin 40°的值为(　　) A．－ B．－ C． D． D　[∵cos 200°＝cos(180°＋20°) ＝－cos 20°＝－sin 70°，sin 40°＝cos 50°， ∴原式＝cos 70°sin 50°－(－sin 70°)·cos 50° ＝sin(50°＋70°)＝sin 120°＝．] 即时练2．化简求值：[2sin 50°＋sin 10°(1＋tan 10°)]． 解析：　原式 ＝·sin 80° ＝·cos 10° ＝2(sin 50°cos 10°＋sin 10°sin 40°) ＝2(sin 50°cos 10°＋cos 50°sin 10°) ＝2sin(50°＋10°)＝2×＝． 探究点二　给值求值问题 已知α，β均为锐角，sin α＝，cos(α＋β)＝． (1)求sin的值； (2)求sin β的值． 解析：　(1)∵α为锐角，sin α＝， ∴cos α＝＝， ∴sin＝sin αcos－cos αsin＝×－×＝． (2)∵α，β均为锐角，∴α＋β∈(0，π)， 由cos(α＋β)＝，得 sin(α＋β)＝＝， ∴sin β＝sin[(α＋β)－α]＝