2.1.1 两角和与差的余弦公式-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修第二册同步课堂高效讲义教师用书（湘教版2019）

2．1　两角和与差的三角函数 2．1．1　两角和与差的余弦公式 [课标解读]　1．经历推导两角差的余弦公式的过程，知道两角差的余弦公式的意义．2．能从两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式，了解它们的内在联系． 知识点　两角和与差的正弦、余弦公式 名称 简记符号 公式 适用条件 两角差的 余弦公式 C(α－β) cos(α－β)＝ cos_αcos_β＋sin_αsin_β α，β∈R 两角和的 余弦公式 C(α＋β) cos(α＋β)＝ cos_αcos_β－sin_αsin_β α，β∈R [点拨]　(1)公式的结构特征： (2)公式中的α，β都是任意角，既可以是一个角，也可以是几个角的组合． 注意公式的结构特征和符号规律：对于公式C(α－β)，C(α＋β)可记为“同名相乘，符号反”． (3)在△ABC中，A＋B＋C＝π， 则cos(A＋B)＝－cos C，cos(A＋C)＝－cos B， cos(B＋C)＝－cos A； cos()＝sin，cos()＝sin，cos()＝sin． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)cos(70°＋40°)＝cos 70°－cos 40°．(　　) (2)对于任意实数α，β，cos(α－β)＝cos α－cos β都不成立．(　　) (3)对任意α，β∈R，cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β都成立．(　　) (4)cos 30°cos 60°＋sin 30°sin 60°＝1．(　　) 答案：　(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2．cos 50°cos 10°－sin 50°sin 10°的值为(　　) A．0 B． C． D．cos 40° B　[原式＝cos (50°＋10°)＝cos 60°＝．] 3．cos 20°＝(　　) A．cos 30°cos 10°－sin 30°sin 10° B．cos 30°cos 10°＋sin 30°sin 10° C．sin 30°cos 10°－sin 10°cos 30° D．cos 30°cos 10°－sin 30°cos 10° B　[因为cos 20°＝cos(30°－10°)＝cos 30°cos 10°＋sin 30°sin 10°，故选B．] 4．设α∈，若sin α＝，则cos等于________． 解析：　∵α∈，sin α＝， ∴cos α＝＝． ∴cos＝ ＝cos α＋sin α＝＋＝． 答案：　 学生用书第46页 探究点一　给角求值问题 求值(1)cos(－15°)； (2)coscos＋cossin． 解析：　(1)cos(－15°)＝cos 15°＝cos(60°－45°)＝cos 60°cos 45°＋sin 60°sin 45°＝×＋×＝． (2)coscos＋cossin ＝coscos＋sinsin ＝cos＝cos＝． 利用两角和与差的余弦公式求值的一般思路 (1)把非特殊角转化为特殊角的差，利用公式直接求解． (2)在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角和与差的余弦公式右边的形式，然后逆用公式求值．　　 即时练1．cos 105°＝________． 解析：　原式＝cos(60°＋45°) ＝cos 60°cos 45°－sin 60°sin 45° ＝×－× ＝． 答案：　 即时练2．求下列各式的值： (1)cos 80°·cos 35°＋cos 10°·cos 55°； (2)sin 100°·sin(－160°)＋cos 200°·cos(－280°)． 解析：　(1)原式＝cos 80°·cos 35°＋sin 80°·sin 35° ＝cos(80°－35°)＝cos 45°＝． (2)原式＝sin(180°－80°)·sin(－180°＋20°)＋cos(20°＋180°)·cos(80°－360°) ＝sin 80°·(－sin 20°)＋(－cos 20°)·cos 80° ＝－(cos 20°·cos 80°＋sin 20°·sin 80°) ＝－cos(20°－80°)＝－cos 60°＝－． 探究点二　给值求值问题 (1)已知sin α＝，α∈，cos β＝－，β∈，求cos(α－β)的值． (2)已知α，β为锐角，且cos α＝，cos(α＋β)＝－，求cos β的值． 解析：　(1)∵α∈，sin α＝， ∴cos α＝－＝－． 又β∈，cos β＝－， ∴sin β＝－＝－． ∴cos(α－β)＝cos α cos β＋sin αsin β ＝×＋×＝． (2)∵0<α，β<，∴0<α＋β<π． 由cos(α＋β)＝－，得sin(α＋β)＝＝＝． 又∵cos α＝，∴sin α＝．