第1章 平面向量及其应用 章末综合提升-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修第二册同步课堂高效讲义教师用书（湘教版2019）

章末综合提升 素养一　数学抽象 数学抽象是指舍去事物的一切物理属性，得到数学研究对象的思维过程．主要包括：从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系，从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构，并且用数学符号或者数学术语予以表征．在本章中主要表现为理解向量的基本概念． 题型一　平面向量的基本概念 (多选)下列命题中，其中正确的是(　　) A．a∥b存在唯一的实数λ∈R，使得b＝λa B．e为单位向量，且a∥e，则a＝±|a|e C．|a·a·a|＝|a|3 D．若a·b＝b·c且b≠0，则a＝c BC　[若a为零向量，则A不成立．根据向量数量积的概念可知D错误．易知B，C正确．故正确命题为BC．] 素养二　数学运算 数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的过程．主要包括：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算方向，选择运算方法，设计运算程序，求得运算结果等．在本章中主要表现在向量的线性运算、数量积运算及解三角形中． 题型二　平面向量的线性运算 (1)已知点O(0，0)，A(－1，3)，B(2，－4)，＝＋m．若点P在y轴上，则实数m的值为(　　) A． B． C． D． 学生用书第41页 (2)(多选)如图，在等腰梯形ABCD中，AB＝2AD＝2CD＝2BC，E是BC的中点，连接AE，BD相交于点F，连接CF，则下列说法正确的是(　　 ) A．＝＋ B．＝＋ C．＝－＋ D．＝－ 解析：　(1)由题，可知 ＝(－1，3)， ＝(3，－7)， 所以 ＝ ＋m ＝(3m－1，3－7m)． 又点P在y轴上，所以3m－1＝0， 得m＝，故选A． (2)对于A选项，＝＋＝＋ ＝＋(－＋＋) ＝＋(－＋＋)＝＋，故A选项正确； 对于B选项，因为B，F，D三点共线，设＝x＋(1－x)，因为∥，所以存在唯一实数λ，使得＝λ，结合A可知，x＋(1－x)＝λ(＋)(x－λ)＝(λ－1＋x)·，因为，不共线，所以x＝，所以＝＋，故B选项正确； 对于C选项，结合B，＝－＝－＋，故C选项错误； 对于D选项，结合B，＝＋＋＝－－＋＋＝－，故D选项正确． 故选ABD． 答案：　(1)A　(2)ABD 题型三　平面向量的数量积运算 (1)在如图所示的平面图形中，已知OM＝1，ON＝2，∠MON＝120°，＝2，＝2，则·的值为(　　) A．－15 B．－9 C．－6 D．0 (2)已知正方形ABCD的边长为2，MN是它的内切圆上的一条弦，点P为正方形四条边上的动点，当弦MN的长度最大时，·的取值范围是(　　 ) A．[0，1] B．[0，] C．[1，2] D．[－1，1] 解析：　(1)连接OA．在△ABC中， ＝－ ＝3－3 ＝3(－)－3(－ )＝3(－ )， ∴ · ＝3(－ )· ＝3(·－2)＝3×(2×1×cos 120°－12)＝3×(－2)＝－6． (2)如下图所示： 学生用书第42页 考虑P是线段AB上的任意一点，＝＋，＝＋＝－， 圆O的半径长为1，由于P是线段AB上的任意一点，则||∈[1，]， 所以·＝(＋)·(－)＝2－2∈[0，1]． 故选A． 答案：　(1)C　(2)A 题型四　利用正弦定理、余弦定理解三角形 在①ac＝，②csin A＝3，③c＝b这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由． 问题：是否存在△ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin A＝sin B，C＝，________________？ 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 解析：　方案一：选条件①． 由C＝和余弦定理的推论得cos C＝＝． 由sin A＝sin B及正弦定理得a＝b． 于是＝，由此可得b＝c． 由ac＝，解得a＝，b＝c＝1． 因此，选条件①时问题中的三角形存在，此时c＝1． 方案二：选条件②． 由C＝和余弦定理的推论得cos ＝＝． 由sin A＝sin B及正弦定理得a＝b． 于是＝，由此可得b＝c，B＝C＝，A＝． 由csin A＝3，即csin＝3，解得c＝b＝2，a＝6． 因此，选条件②时问题中的三角形存在，此时c＝2． 方案三：选条件③． 由C＝和余弦定理的推论得cos ＝＝． 由sin A＝sin B及正弦定理得a＝b． 于是＝，由此可得b＝c． 由于c＝b，与b＝c矛盾． 因此，选条件③时问题中的三角形不存在． 素养三　逻辑推理 逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据逻辑规则推出一个命题的思维过程．在本章中，主要表现在利用向量判定平行与垂直及利用正弦、余弦定理判断三角形的形状等问题中． 题型五　平面向量的应用 (1)O是△ABC所在平面内的一定点，P是△ABC所