1.7 平面向量的应用举例-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修第二册同步课堂高效讲义教师用书（湘教版2019）

1．7　平面向量的应用举例 [课标解读]　会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题以及其他实际问题，体会向量在解决数学和实际问题中的作用． 知识点一　平面几何中的向量方法 问题类型 所用知识 公式表示 线平行、点共线等问题 向量共线定理 a∥ba＝λbx1y2－x2y1＝0，其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，b≠0 垂直问题 数量积的运算性质 a⊥ba·b＝0x1x2＋y1y2＝0．其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且a，b为非零向量 夹角问题 数量积的定义 cos θ＝(θ为向量a，b的夹角)，其中a，b为非零向量 长度问题 数量积的定义 |a|＝＝，其中a＝(x，y)，a为非零向量 知识点二　向量在物理中的应用 1．由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解与合成和向量的加法与减法相似，因此可以用向量知识来解决． 2．物理学中的功是一个标量，是力F与位移s的数量积，即W＝F·s＝|F||s|cos θ(θ为F与s的夹角)． [点拨]　向量本身是由物理学中的概念抽象出来的，平面向量在物理中的应用，实际上是把物理问题转化为向量问题，然后通过向量运算解决物理问题，要注意两个方面：一方面是通过实例，体会如何把物理问题转化为数学问题；另一方面是如何利用数学模型的解来解释相应的物理现象． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若△ABC是直角三角形，则有·＝0．(　　) (2)若∥，则直线AB与CD平行．(　　) (3)物理学中的功是一个向量．(　　) (4)若平面四边形ABCD满足＋＝0，(－)·＝0，则该四边形一定是菱形．(　　) 答案：　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．在△ABC中，已知A(4，1)，B(7，5)，C(－4，7)，则BC边的中线AD的长是(　　) A．2 B． C．3 D． B　[∵BC的中点D，＝， ∴||＝ ＝．故选B．] 3．如果一架飞机向东飞行200 km，再向南飞行300 km，记飞机飞行的路程为s，位移为a，那么(　　) A．s＞|a| B．s＜|a| C．s＝|a| D．s与|a|不能比大小 A　[路程是数量，位移是向量，从而s＝500，由位移的合成易得|a|＜500，故s＞|a|．故选A．] 4．若＝3e，＝5e，且||＝||，则四边形ABCD的形状为____________． 解析：　由＝3e，＝5e，得∥，≠， 又因为ABCD为四边形， 所以AB∥DC，AB≠DC． 又||＝||，得AD＝BC， 所以四边形ABCD为等腰梯形． 答案：　等腰梯形 学生用书第38页 探究点一　平面向量在几何证明中的应用 如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点． 求证：AF⊥DE(利用向量证明)． 证明：　方法一：设＝a，＝b， 则＝a＋b，＝b－a， 所以·＝·＝b2－a2＋a·b． 又⊥，且||＝||， 所以a2＝b2，a·b＝0，所以·＝0， 所以⊥，即AF⊥DE． 方法二：以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系． 设正方形的边长为1，则A(0，0)，E，F，D(0，1)． 所以＝－(0，0)＝， ＝－(0，1)＝． 则·＝·＝0． 所以⊥，即AF⊥DE． 用向量法解决平面几何问题的两种方法 (1)基向量法：选取适当的一组基(尽量用已知模或夹角的向量作为一组基)，将题中涉及的向量用基向量表示，利用向量的运算法则、运算律或性质计算． (2)坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将长度、垂直、平行等问题转化为代数问题． 一般地，存在坐标系或易建坐标系的题目用坐标法更简单．　　 即时练1．如图，在正方形ABCD中，P为对角线AC上任意一点(异于A，C两点)，PE⊥AB，PF⊥BC，垂足分别为E，F，连接DP，EF，求证：DP⊥EF． 证明：　方法一：设正方形ABCD的边长为1，AE＝a(0＜a＜1)， 则EP＝AE＝a，PF＝EB＝1－a，AP＝a， ∴·＝(＋)·(＋) ＝·＋·＋·＋· ＝1×a×cos 180°＋1×(1－a)×cos 90°＋a×a×cos 45°＋a×(1－a)×cos 45° ＝－a＋a2＋a(1－a)＝0， ∴⊥，即DP⊥EF． 方法二：如图，以A为坐标原点，AB，AD所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系． 设正方形ABCD的边长为1， AP＝λ(0＜λ＜)， 则D(0，1)，P，E，F． ∴＝，＝， ∴·＝λ－×λ2＋×λ2－λ＝0， ∴⊥，即DP⊥EF． 探究点二　平面向量在几何求值中的应用 如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝3，点D在线段BC上，且BD＝DC． (1)求A