1.6.2 正弦定理-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修第二册同步课堂高效讲义教师用书（湘教版2019）

1．6．2　正弦定理 [课标解读]　探索三角形边长与对应角的正弦之间关系，掌握正弦定理． 知识点　正弦定理 名称 内容 备注 正弦定理 图形语言、文字语言、符号语言的相互转化 扩充的正弦定理 ＝ ＝ ＝2R R为三角形外接圆的半径 正弦定理的变形 边化角： a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C 角化边： sin A＝，sin B＝，sin C＝ 边角转化的变形中注意有2R的存在，在边角混合式子的变形中要注意要么边化角，要么角化边，要消去2R 结论 ①a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C ②＝＝＝2R ③a>b>csin A>sin B>sin CA>B>C 一定在同一个△ABC中才具有结论，多个三角形要注意．对于③利用了大边对大角，小边对小角，也是多个解排除的依据 适用条件 两角一边(三角形唯一解)；两边及其一边的对角(三角形可能零解、一解或两解) 两边及其一边的对角判断解的个数可以依据 a>b>csin A>sin B>sin CA>B>C 三角形的面积公式 S△ABC＝absin C ＝acsin B＝bcsin A 依据三角形的面积公式等于一条边乘以这条边上的高除以2来推证．文字语言：三角形的两条边与它们夹角的正弦值的乘积除以2 学生用书第29页 [点拨]　(1)适用范围：正弦定理对任意的三角形都成立； (2)结构形式：分子为三角形的边长，分母为相应边所对的角的正弦； (3)揭示规律：正弦定理指出的是三角形中三条边与所对角的正弦之间的一个关系式，它描述了三角形中边与角的一种数量关系． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)正弦定理不适用于直角三角形．(　　) (2)在△ABC中必有asin A＝bsin B．(　　) (3)在△ABC中，若a＞b，则必有sin A＞sin B．(　　) (4)在△ABC中，若sin A＝sin B，则必有A＝B．(　　) 答案：　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 2．在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则sin B＝(　　) A． B． C． D． A　[由＝，得＝，解得sin B＝．故选A．] 3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．若A＝105°，B＝45°，b＝2，则c＝(　　) A． B．1 C． D．2 D　[由三角形内角和定理得，C＝180°－(A＋B)＝180°－(105°＋45°)＝30°． 由正弦定理得，c＝＝＝2．] 4．在△ABC中，若＝，则B的度数为________． 解析：　根据正弦定理知，＝，结合已知条件可得sin B＝cos B，又0°＜B＜180°，所以B＝45°． 答案：　45° 探究点一　已知两角及一边解三角形 在△ABC中，a＝26，cos A＝，cos B＝，则b等于(　　) A．72 B．18 C． D．30 D　[因为cos A＝，所以sin A＝＝． 同理得sin B＝． 由＝得b＝＝＝30．] 已知两角及一边解三角形的一般步骤 　　 即时练1．在△ABC中，已知B＝45°，C＝60°，c＝1，则最短的边长等于(　　) A． B． C． D． A　[因为B＝45°，C＝60°，所以A＝75°，A>C>B， 所以b为最短边，由正弦定理得： ＝， 所以b＝＝＝． 故选A．] 探究点二　已知两边及一边的对角解三角形 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，c＝，B＝45°，b＝2，求a和A，C．(注：sin 75°＝，sin 15°＝) 解析：　∵＝， ∴sin C＝＝＝． ∵csin B＜b＜c，∴C＝60°或120°． 当C＝60°时，A＝75°，a＝＝＝＋1； 当C＝120°时，A＝15°，a＝＝＝－1． ∴a＝＋1，A＝75°，C＝60°或a＝－1，A＝15°，C＝120°． 已知两边及一边的对角解三角形的步骤 　　 学生用书第30页 即时练2．在△ABC中，BC＝1，AB＝，C＝，则A＝(　　) A．或 B． C．或 D． B　[由正弦定理得＝，∴sin A＝， 因为0<A<π，所以A＝或， 因为BC＝1<AB＝， 所以A<C，∴A＝．故选B．] 探究点三　判断三角形的形状 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b＝asin C，c＝asin B，试判断△ABC的形状． 解析：　方法一：由b＝asin C，c＝asin B，得＝． 由正弦定理，得＝，所以b2＝c2． 又b，c＞0，所以b＝c，所以B＝C． 由b＝asin C，得sin B＝sin Asin C＝sin Asin B， 所以sin A＝1，所以A＝， 所以△AB