1.5.2 数量积的坐标表示及其计算-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修第二册同步课堂高效讲义教师用书（湘教版2019）

1．5．2　数量积的坐标表示及其计算 [课标解读]　1．能用坐标表示平面向量的数量积，会表示两个平面向量的夹角．2．能用坐标表示平面向量垂直的条件． 知识点　平面向量数量积的坐标表示 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ，则 (1)a·b＝x1x2＋y1y2，即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和． (2)|a|2＝x＋y，或|a|＝． (3)若a，b为非零向量，则cos〈a，b〉＝＝． (4)a⊥bx1x2＋y1y2＝0． [点拨]　公式a·b＝|a||b|cos θ与a·b＝x1x2＋y1y2都是用来求两向量的数量积的，没有本质区别，只是书写形式上的差异，两者可以相互推导． 若题目中给出的是两向量的模与夹角，则可直接利用公式a·b＝|a||b|cos θ求解；若已知两向量的坐标，则可选用公式a·b＝x1x2＋y1y2求解． 学生用书第23页 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和．(　　) (2)已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a⊥bx1x2－y1y2＝0．(　　) (3)两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，满足x1y2－x2y1＝0，则向量a，b的夹角为180°．(　　) (4)若两个非零向量的夹角θ满足cos θ<0，则两向量的夹角θ一定是钝角．(　　) 答案：　(1)√　(2)×　(3)×　(4)× 2．设a＝(1，－2)，b＝(3，1)，c＝(－1，1)，则(a＋b)·(a－c)等于(　　) A．11 B．5 C．－14 D．10 A　[a＋b＝(4，－1)，a－c＝(2，－3)．所以(a＋b)·(a－c)＝4×2＋(－1)×(－3)＝11．故选A．] 3．若向量a＝(4，2)，b＝(6，m)，且a⊥b，则m的值是(　　) A．12 B．3 C．－3 D．－12 D　[∵a⊥b，∴4×6＋2m＝0．解得m＝－12．] 4．已知a＝(3，4)，b＝(5，12)，则a·b＝________，a与b夹角的余弦值为________． 解析：　由题意得： a·b＝3×5＋4×12＝63， |a|＝＝5， |b|＝＝13， 所以a与b夹角的余弦值为＝＝． 答案：　63　 探究点一　数量积的坐标运算 (1)设a＝(1，－2)，b＝(－3，4)，c＝(3，2)，则(a＋2b)·c＝(　　) A．12 B．0 C．－3 D．－11 (2)已知向量a＝(1，2)，b＝(x，4)，c＝(2，y)，若a∥b，a⊥c，则b·(a－c)＝(　　) A．14 B．－14 C．10 D．6 (3)已知a＝(2，－1)，b＝(3，2)，若存在向量c，满足a·c＝2，b·c＝5，则向量c＝________． 解析：　(1)∵a＝(1，－2)，b＝(－3，4)，c＝(3，2)，∴a＋2b＝(－5，6)，∴(a＋2b)·c＝(－5)×3＋6×2＝－3． (2)向量a＝(1，2)，b＝(x，4)，c＝(2，y)， 由a∥b，可得1×4＝2·x，解得x＝2，b＝(2，4)， 由a⊥c，可得1×2＋2y＝0，解得y＝－1，c＝(2，－1)， 所以a－c＝(－1，3)， 则b·(a－c)＝－2＋12＝10．故选C． (3)设c＝(x，y)，因为a·c＝2，b·c＝5， 所以解得所以c＝． 答案：　(1)C　(2)C　(3) 平面向量数量积坐标运算的两条途径 进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质．解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知条件计算．　　 即时练1．若向量a＝(1，1)，b＝(－1，3)，c＝(2，x)，满足(3a＋b)·c＝10，则实数x＝(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 A　[由题意，得3a＋b＝3(1，1)＋(－1，3)＝(2，6)，所以(3a＋b)·c＝(2，6)·(2，x)＝2×2＋6x＝10，解得x＝1．] 即时练2．已知a与b同向，b＝(1，2)，a·b＝10． (1)求a的坐标； (2)若c＝(2，－1)，求a(b·c)及(a·b)c． 解析：　(1)设a＝λb＝(λ，2λ)(λ＞0)， 则有a·b＝λ＋4λ＝10，∴λ＝2， ∴a＝(2，4)． (2)∵b·c＝1×2－2×1＝0，a·b＝10， ∴a(b·c)＝0，(a·b)c＝10(2，－1)＝(20，－10)． 学生用书第24页 探究点二　向量模的问题 (1)设平面向量a＝(1，2)，b＝(－2，y)，若a∥b则|3a＋b|＝(　　) A． B． C． D． (2)已知|a|＝2，b＝(2，－3)，且a⊥b