1.5.1 数量积的定义及计算-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修第二册同步课堂高效讲义教师用书（湘教版2019）

1．5　向量的数量积 1．5．1　数量积的定义及计算 [课标解读]　1．通过物理中功的实例，理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积．2．通过几何直观，了解平面向量投影的概念以及向量投影的意义．3．会用数量积判断两个平面向量的垂直关系． 知识点一　向量的数量积 　设a，b是任意两个向量，〈a，b〉是它们的夹角，则定义a·b＝|a||b|cos〈a，b〉为a与b的数量积． a·b＝0a⊥b． [点拨]　数量积是两个向量之间的一种运算，其运算结果是一个数量，其大小与两个向量的长度及其夹角都有关，符号由夹角的余弦值的符号决定．注意“·”不能省略． 知识点二　投影 　如图，作向量＝a，＝b，两个向量的夹角为α，过点B作BB1⊥OA于点B1，则＝＋，其中与共线． 把称为在方向上的投影向量，投影向量的长度||＝|||cos α|称为投影长． ||cos α刻画了投影向量的大小和方向，称为在方向上的投影． 向量数量积的几何意义：a与b的数量积等于a的长度|a|与b在a方向上的投影|b|cos_α的乘积，或b的长度|b|与a在b方向上的投影|a|cos_α的乘积．故有|b|cos α＝． [点拨]　向量a在b方向上的投影向量为|a|cos α e(其中e为与b同向的单位向量)，它是一个向量，且与b共线，其方向由向量a和b夹角α的余弦值决定．向量a在b方向上的投影为|a|cos α，可正可负可为零． 知识点三　数量积的运算律 　设a，b，c是任意向量，λ是任意实数，则有 (1)a·b＝b·a(交换律)； (2)a·(λb)＝λ(a·b)(结合律)； (3)a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律)． [点拨]　(1)向量的数量积不满足消去律：若a，b，c均为非零向量，且a·c＝b·c，但得不到a＝b． (2)(a·b)·c≠a·(b·c)，因为a·b，b·c是数量积，是实数，不是向量，所以(a·b)·c与向量c共线，a·(b·c)与向量a共线，因此，(a·b)·c＝a·(b·c)在一般情况下不成立． (3)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2，(a＋b)·(a－b)＝a2－b2，可以类比完全平方和公式，平方差公式，注意“·”不能省． 知识点四　数量积的性质 性质 备注 a·e＝e·a e为单位向量 a·a＝|a||a|＝|a|2，|a|＝ 模与向量的关系 cos〈a，b〉＝ 数量积公式的变形 a·b＝|a||b|，则a、b同向； a·b＝－|a||b|，则a、b反向 向量同向夹角为0；向量反向夹角为π 学生用书第20页 a⊥ba·b ＝0 向量夹角为，则余弦值为0 |a·b|≤|a||b| 此不等式利用 |cos〈a，b〉|≤1 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个向量的数量积仍然是向量．(　　) (2)若a·b＝0，则a＝0或b＝0．(　　) (3)a，b共线a·b＝|a||b|．(　　) (4)若a·b＝b·c，则一定有a＝c．(　　) (5)两个向量的数量积是一个实数，向量的加法、减法、数乘运算的运算结果是向量．(　　) 答案：　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√ 2．若向量a，b满足|a|＝|b|＝1，a与b的夹角为60°，则a·b等于(　　) A． B． C．1＋ D．2 A　[a·b＝|a||b|cos 60°＝1×1×＝．] 3．若e1，e2是夹角为的单位向量，且a＝2e1＋e2，b＝－3e1＋2e2，则a·b＝(　　) A．1 B．－4 C．－ D． C　[由已知，得e1·e2＝|e1||e2|cos ＝， ∴a·b＝(2e1＋e2)·(－3e1＋2e2) ＝－6|e1|2＋2|e2|2＋e1·e2＝－．故选C．] 4．已知|a|＝3，|b|＝2，设e是a同方向上的单位向量，a与b的夹角为，则b在a方向上的投影向量为________． 解析：　b在a方向上的投影向量为|b|cos ＝e·2×＝e． 答案：　e 探究点一　向量的数量积和投影向量 (1)已知向量a与b满足|a|＝10，|b|＝3，且向量a与b的夹角为120°．求： ①(a＋b)·(a－b)；②(2a＋b)·(a－b)． (2)已知单位向量e1，e2的夹角为，a＝2e1－e2，求a在e1上的投影向量． 解析：　(1)①(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝|a|2－|b|2＝100－9＝91． ②因为|a|＝10，|b|＝3，且向量a与b的夹角为120°， 所以a·b＝10×3×cos 120°＝－15， 所以(2a＋b)·(a－b)＝2a2－a·b－b2 ＝200＋15－9＝206． (2)设a与e1的夹角为θ，则a在e1上的投影向量为|a|cos θ ·e1＝