28章 锐角三角函数专题 解直角三角形实际应用的基本模型 课件 2023-2024学年人教版数学九年级下册

专题　解直角三角形实际应用的基本模型 第二十八章　锐角三角函数 C 模型一：三角形模型 (1)“背靠背”型 模型 模型分析 已知三角形中的两角(∠A和∠B)及一边(AC或BC)，在三角形内作高CD，构造两个直角三角形求解，以高CD为桥梁是解题的关键 1．(南通中考)如图，一艘轮船位于灯塔P的南偏东60°方向，距离灯塔50海里的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东45°方向上的B处，此时B处与灯塔P的距离为 海里．(结果保留根号) 25 eq \r(6) 2．(抚顺中考)如图，B港口在A港口的南偏西25°方向上，距离A港口100海里．一艘货轮航行到C处，发现A港口在货轮的北偏西25°方向，B港口在货轮的北偏西70°方向．求此时货轮与A港口的距离．(结果取整数，参考数据：sin50°≈0.766，cos50°≈0.643，tan50°≈1.192， eq \r(2) ≈1.414) 解：过点B作BD⊥AC，垂足为D，由题意得：∠BAC＝25°＋25°＝50°，∠BCA＝70°－25°＝45°，在Rt△ABD中，AB＝100(海里)，∴AD＝AB·cos 50°≈100×0.643＝64.3(海里)，BD＝AB·sin50°≈100×0.766＝76.6(海里)，在Rt△BDC中，CD＝ eq \f(BD,tan45°) ＝76.6(海里)，∴AC＝AD＋CD＝64.3＋76.6≈141(海里)，∴此时货轮与A港口的距离约为141海里 (2)“母子”型 模型 模型分析 已知三角形中的两角(∠1和∠2)及其中一边，在三角形外边作高BC，构造两个直角三角形求解，以高BC为桥梁是解题的关键 3.(成都中考)越来越多太阳能路灯的使用，既点亮了城市的风景，也是我市积极落实节能环保的举措．某校学生开展综合实践活动，测量太阳能路灯电池板离地面的高度．如图，已知测倾器的高度为1.6米，在测点A处安置测倾器，测得点M的仰角∠MBC＝33°，在与点A相距3.5米的测点D处安置测倾器，测得点M的仰角∠MEC＝45°(点A，D与N在一条直线上)，求电池板离地面的高度MN的长．(结果精确到1米，参考数据：sin 33°≈0.54，cos 33°≈0.84，tan 33°≈0.65) 解：如图，延长BC交MN于点H，易知AD＝BE＝3.5(米)，AB＝DE＝HN＝1.6(米)，设MH＝x(米)，易知在Rt△MHE中，∠MHE＝90°，∠MEC＝45°，∴EH＝x(米)，易知在Rt△MHB中，∠MHB＝90°，∠MBH＝33°，∴tan ∠MBH＝ eq \f(MH,HE＋EB) ＝ eq \f(x,x＋3.5) ≈0.65，解得x≈6.5，则MN＝MH＋HN≈6.5＋1.6＝8.1≈8(米)，∴电池板离地面的高度MN的长约为8米 (3)“拥抱”型 模型 模型分析 单独解每个三角形再加减 4．(凉山州中考)如图，CD是平面镜，光线从A点出发经CD上点O反射后照射到B点，若入射角为α，反射角为β(反射角等于入射角)，AC⊥CD于点C，BD⊥CD于点D，且AC＝3，BD＝6，CD＝12，则tan α的值为 ． eq \f(4,3) 5．(眉山中考)某数学兴趣小组去测量一座小山的高度，在小山顶上有一高度为20米的发射塔AB如图所示．在山脚平地上的D处测得塔底B的仰角为30°，向小山前进80米到达点E处，测得塔顶A的仰角为60°，求小山BC的高度. 解：设BC为x米，则AC＝(20＋x)米，由条件知，∠DBC＝∠AEC＝60°，DE＝80(米).在Rt△DBC中，tan ∠DBC＝ eq \f(DC,BC) ＝ eq \f(DC,x) ＝ eq \r(3) ，则DC＝ eq \r(3) x(米)，∴CE＝( eq \r(3) x－80)米．在Rt△ACE中，tan ∠AEC＝ eq \f(AC,CE) ＝ eq \f(20＋x,\r(3)x－80) ＝ eq \r(3) .解得x＝10＋40 eq \r(3) .∴小山BC的高度为(10＋40 eq \r(3) )米 模型二：四边形模型 (1)直角梯形模型 模型 模型 分析 过较短的底AB作直角梯形的高BE，构造一个矩形和一个直角三角形，先解直角三角形再加减求解 6.如图，某办公楼AB的后面有一建筑物CD，当光线与地面的夹角是22°时，办公楼在建筑物的墙上留下高2米的影子CE，而当光线与地面夹角是45°时，办公楼顶A在地面上的影子F与墙角C有25米的距离(点B，F，C在一条直线上).求办公楼AB的高度．(参考数据：sin 22°≈ eq \f(2,5) ，cos 22°≈ eq \f(15,16) ，tan 2