6.2.2导数与函数的极值、最值第3课时学案-2023-2024学年高二下学期数学人教B版（2019）选择性必修第三册

第3课时　导数与函数的极值、最值综合问题 1.借助函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件； 2．能利用导数求某些函数的极大值、极小值． 新知初探·自主学习——突出基础性 教 材 要 点 知识点 利用导数研究函数的零点或方程根的方法是借助于导数研究函数的单调性，极值(最值)，通过极值或最值的正负、函数的单调性判断函数图象走势，从而判断零点个数或者通过零点的个数求参数范围． 　基 础 自 测 1．函数f(x)＝ln x＋的零点个数为(　　) A．0　　　B．1　　　C．2　　　D．3 2．已知函数f(x)＝(x2＋a)ex有最小值，则函数y＝f′(x)的零点个数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．不确定 3．若曲线y＝xe－x与直线y＝a恰有两个交点，则实数a的取值范围为(　　) A．(－∞，] B．(0，) C．(0，＋∞) D．[0，] 4．直线y＝a与函数y＝x3－3x的图象有三个相异的交点，则a的取值范围是________． 　课堂探究·素养提升——强化创新性 　利用导数解决函数的零点或方程的根问题 例1　给定函数f(x)＝ex－x. (1)判断函数f(x)的单调性，并求出f(x)的值域； (2)画出函数f(x)的大致图象； (3)求出方程f(x)＝m(m∈R)在区间[－1，2]上的根的个数． 方法归纳 判断零点的个数问题的思路 (1)求出函数的定义域． (2)求导数f′(x)及函数f′(x)的零点． (3)用f′(x)的零点将函数f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各个区间上的正负，并得出f(x)的单调性与极值． (4)确定f(x)的图象经过一些特殊点，根据零点存在性定理分析图象的变化趋势． (5)画出f(x)的大致图象． 跟踪训练1　已知函数f(x)＝－1. (1)求f(x)的单调区间； (2)当a≤1时，求函数f(x)在区间(0，e]上零点的个数． 　由函数的零点个数求参数的范围 例2　已知函数f(x)＝x3－kx＋k2. (1)讨论f(x)的单调性； (2)若f(x)有三个零点，求k的取值范围． 方法归纳 利用导数研究函数的零点或方程根的方法是借助于导数研究函数的单调性、极值(最值)，通过极值或最值的正负、函数的单调性以及零点存在性定理判断函数图象走势，从而判断零点个数或者通过零点的个数求参数范围． 跟踪训练2　已知函数f(x)＝ex－a(x＋2)， (1)当a＝1时，讨论f(x)的单调性； (2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围． 　二次求导问题 例3　已知函数f(x)＝ex－ax.(a∈R) (1)求函数f(x)的单调区间； (2)若a＝3，证明：当x＞0时，f(x)＞x2－3x＋1恒成立． 方法归纳 解决此系列问题的步骤： (1)求定义域且求导； (2)要判断f′(x)的符号，只需要判断优化后的函数的符号但不确定； (3)构造函数，二次求导，直接判断导函数的符号． 跟踪训练3　已知函数f(x)＝ex cos x－x. (1)求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程； (2)求函数f(x)在区间[0，]上的最大值和最小值． 　二次求导虚设零点问题 例4　已知函数f(x)＝. 求证：函数f(x)＝有极大值． 方法归纳 零点存在性定理——虚设零点，此时g(x)在(0，＋∞)上有没有零点，我们继续列表分析． 跟踪训练4　已知函数f(x)＝ex(ln x－a) (1)若a＝1，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程； (2)若a＞1，求证：函数f(x)存在极小值． 第3课时　导数与函数的极值、最值综合问题 新知初探·自主学习 [基础自测] 1．解析：由题意，得函数f(x)＝ln x＋的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝－＝， 当x>1时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增； 当0<x<1时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减， 所以当x＝1时，函数f(x)取得最小值，最小值为f(1)＝1>0， 所以函数f(x)＝ln x＋在定义域内没有零点． 答案：A 2．解析：由题意得，f′(x)＝(x2＋2x＋a)ex， 因为函数f(x)有最小值，且当x→－∞时，f(x)→0，当x→＋∞时，f(x)→＋∞， 所以函数存在减区间，即f′(x)<0有解， 所以x2＋2x＋a＝0有两个不相等的实根， 所以函数y＝f′(x)的零点个数为2. 答案：C 3．解析：对于函数y＝xe－x＝，该函数的定义域为R，且y′＝，令y′＝0，得x＝1，列表如下： 且当x<0时，y＝xe－x<0；当x>0时，y＝xe－x>0. 作出函数y＝xe－x与函数y＝a的图象如图所示． 由图象可知，当0<a<时，直线y＝a与曲线y＝xe－x有两个交点， 因此，实数a的取