6.2.2导数与函数的极值、最值第2课时学案-2023-2024学年高二下学期数学人教B版（2019）选择性必修第三册

第2课时　导数与函数的最值 能利用导数求某些函数的极大值、极小值以及给定闭区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值；体会导数与单调性、 极值、最大 (小)值的关系． 新知初探·自主学习——突出基础性 教 材 要 点 知识点　函数f(x)在闭区间[a，b]上的最值 假设函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图象是一条连续不间断的曲线，则该函数在[a，b]一定能够取得________与________，若函数在[a，b]内是可导的，则该函数的最值必在极值点或区间端点取得． 　基 础 自 测 1．下列结论正确的是(　　) A．若f(x)在[a，b]上有极大值，则极大值一定是[a，b]上的最大值 B．若f(x)在[a，b]上有极小值，则极小值一定是[a，b]上的最小值 C．若f(x)在[a，b]上有极大值，则极小值一定是在x＝a和x＝b处取得 D．若f(x)在[a，b]上连续，则f(x)在[a，b]上存在最大值和最小值 2．函数y＝x－sin x，x∈[，π]的最大值是(　　) A.π－1 B．－1 C．π D．π＋1 3．函数f(x)＝x3－3x(|x|＜1)(　　) A．有最值，但无极值 B．有最值，也有极值 C．既无最值，也无极值 D．无最值，但有极值 4．函数f(x)＝(x＋1)ex的最小值是________． 　课堂探究·素养提升——强化创新性 　求函数的最值 【思考探究】 如图为y＝f(x)，x∈[a，b]的图象． 1．观察[a，b]上函数y＝f(x)的图象，试找出它的极大值、极小值． [提示]　f(x1)，f(x3)为函数的极大值，f(x2)，f(x4)为函数的极小值． 2．结合图象判断，函数y＝f(x)在区间[a，b]上是否存在最大值，最小值？若存在，分别为多少？ [提示]　存在．f(x)的最小值为f(a)，f(x)的最大值为(f(x_(3)))． 3．函数y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值一定是其极值吗？ [提示]　不一定．也可能是区间端点的函数值． 例1　求下列各函数的最值： (1)f(x)＝ln x－x, x∈(0，e]； (2)f(x)＝－x4＋2x2＋3，x∈[－3，2]； (3)f(x)＝x3－3x2＋6x－2，x∈[－1，1]； (4)f(x)＝x＋sin x，x∈[0，2π]. , 方法归纳 求函数最值的四个步骤 第一步，求函数的定义域； 第二步，求f′(x)，解方程f′(x)＝0； 第三步，列出关于x，f(x)，f′(x)的变化表； 第四步，求极值、端点值，确定最值． 跟踪训练1　求下列函数的最值： (1)f(x)＝2x3－12x，x∈[－2，3]； (2)f(x)＝x＋cos x，x∈[0，2π]； (3)f(x)＝. 　求含参数的函数的最值 例2　已知函数f(x)＝x3－ax2－a2x.求函数f(x)在[0，＋∞)上的最小值． 状元随笔　不能求出参数值的问题，则要对参数进行讨论 方法归纳 含参数的函数最值问题的两类情况 (1)能根据条件求出参数，从而化为不含参数的函数的最值问题． (2)对于不能求出参数值的问题，则要对参数进行讨论，其实质是讨论导函数大于0、等于0、小于0三种情况．若导函数恒不等于0，则函数在已知区间上是单调函数，最值在端点处取得；若导函数可能等于0，则求出极值点后求极值，再与端点值比较后确定最值． 跟踪训练2　已知a∈R，函数f(x)＝x2(x－a)，求f(x)在区间[0，2]上的最大值． 　由最值求参数的值或范围 例3　已知函数f(x)＝ax3－6ax2＋b，x∈[－1，2]的最大值为3，最小值为－29，求a，b的值． 方法归纳 已知函数在某区间上的最值求参数的值(或范围)是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，探索最值点，根据已知最值列方程(不等式)解决问题． 跟踪训练3　(1)已知函数h(x)＝x3＋3x2－9x＋1在区间[k，2]上的最大值是28，求k的取值范围． (2)已知f(x)＝ax－ln x，a∈R. ①当a＝1时，求曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程； ②是否存在实数a，使f(x)在区间(0，e]上的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由． 　与最值有关的恒成立问题 例4　已知2x ln x≥－x2＋ax－3对一切x∈(0，＋∞)恒成立，则a的取值范围为________． 方法归纳 1．分离参数法求解不等式恒成立问题的步骤 2．构造新函数，利用导数求新函数的最值，若参数影响单调性，需对参数讨论，利用最值解决恒成立问题，即f(x)≥0恒成立⇔f(x)min≥0，f(x)≤0恒成立⇔f(x)max≤0. 跟踪训练4　已知函数f(x)＝ex(ex－a)－a2x. (1)讨论f(x)的单调性