6.2.2导数与函数的极值、最值第1课时学案-2023-2024学年高二下学期数学人教B版（2019）选择性必修第三册

6．2.2　导数与函数的极值、最值 第1课时　导数与函数的极值 1.借助函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件； 2．能利用导数求某些函数的极大值、极小值． 新知初探·自主学习——突出基础性 教 材 要 点 知识点　极值点和极值的概念 名称 定义 表示法 极值 极大值 已知函数y＝f(x)，设x0是定义域(a，b)内任一点，如果对x0附近的所有点x，都有________，则称函数f(x)在点x0处取极大值 记作________ 极小值 已知函数y＝f(x)，设x0是定义域(a，b)内任一点，如果对x0附近的所有点x，都有________，则称函数f(x)在点x0处取极小值 记作________ 极值点 ________统称为极值点 　基 础 自 测 1．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，其导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内的极大值点有(　　) A.1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．函数y＝x3－3x2－9x(－2＜x＜2)有(　　) A．极大值5，极小值－27 B．极大值5，极小值－11 C．极大值5，无极小值 D．极小值－27，无极大值 3．已知函数f(x)＝x3－mx2＋mx＋9在R上无极值，则实数m的取值范围为(　　) A．(－∞，0)∪ (1，+∞) B.( －∞，0]∪[1，+∞) C．(0，1) D．[0，1] 4．若函数f(x)＝ax－ln x在x＝处取得极值，则实数a的值为(　　) A．　　B． C．2　　D． 　 课堂探究·素养提升——强化创新性 　函数极值概念的理解 例1　函数y＝f(x)的导函数的图象如图所示，给出下列判断： ①函数y＝f(x)在区间(3，5)内单调递增； ②函数y＝f(x)在区间(－，3)内单调递减； ③函数y＝f(x)在区间(－2，2)内单调递增； ④当x＝－时，函数y＝f(x)有极大值； ⑤当x＝2时，函数y＝f(x)有极大值． 则上述判断中正确的序号是________． 方法归纳 1．解答此类问题要先搞清楚所给的图象是原函数还是导函数的，对于导函数的图象，重点考查在哪个区间上为正，哪个区间上为负，在哪个点处与x轴相交，在该点附近的导数值是如何变化的，若是由正值变为负值，则在该点处取得极大值；若是由负值变为正值，则在该点处取得极小值． 2．注意点： (1)极值点不是点； (2)极值是函数的局部性质； (3)函数的极值不唯一； (4)极大值与极小值两者的大小不确定； (5)极值点出现在区间的内部，端点不能是极值点； (6)若f′(x0)＝0，则x0不一定是极值点，即f′(x0)＝0是f(x)在x＝x0处取到极值的必要不充分条件，函数y＝f′(x)的变号零点，才是函数的极值点． 跟踪训练1　已知函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内的极小值点的个数为(　　) A．1　　　B．2　　　C．3　　　D．4 　求函数的极值 例2　求下列函数的极值． (1)f(x)＝x2－2x－1； (2)f(x)＝－x3＋－6； (3)f(x)＝|x|； (4)f(x)＝x－a ln x(a∈R)． 方法归纳 1．讨论函数的性质要注意定义域优先的原则． 2．极值点与导数的关系 (1)可导函数的极值点一定是导数值为0的点，导数值为0的点不一定是极值点． 点x0是可导函数f(x)在区间(a，b)内的极值点的充要条件： ①f′(x0)＝0； ②点x0两侧f′(x)的符号不同． (2)不可导的点可能是极值点(如本例(3)中x＝0点)，也可能不是极值点(如y＝√(x)，在x＝0处不可导，在x＝0处也取不到极值)，所以函数的极值点可能是f′(x)＝0的根，也可能是不可导点． 跟踪训练2　求下列函数的极值： (1)f(x)＝x2－2ln x； (2)f(x)＝x3－x； (3)f(x)＝x2e－x. 　利用函数的极值求参数的值或者范围 例3　(1)已知f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝1与x＝－时都取得极值． ①求a，b的值； ②若f(－1)＝，求f(x)的单调区间和极值． 状元随笔　①求导函数f ′(x)，则由x＝1和x＝－是f ′(x)＝0的两根及根与系数的关系求出a，b. ②由f(－1)＝求出c，再列表求解． (2)已知f(x)＝x3＋(a－1)x2＋x＋1没有极值，则实数a的取值范围是(　　) A．[0，1] B．(－∞，0]∪ [1，+∞) C．[0，2] D．(－∞，0]∪ [2，+∞) 状元随笔　求导得f ′(x)＝x2＋2(a－1)x＋1，再解不等式[2(a－1)]2－4≤0即得解． 方法归纳 已知函数极值的情况，逆向