6.2.1导数与函数的单调性第2课时学案-2023-2024学年高二下学期数学人教B版（2019）选择性必修第三册

第2课时　导数与函数的单调性的应用 新知初探·自主学习——突出基础性 　基 础 自 测 1．已知函数f(x)，g(x)对任意实数x，有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，且当x>0时，有f′(x)>0，g′(x)>0，则当x<0时，有(　　) A.f′(x)>0，g′(x)>0 B．f′(x)>0，g′(x)<0 C．f′(x)<0，g′(x)>0 D．f′(x)<0，g′(x)<0 2．已知函数f(x)＝－x3＋ax2－x－1在R上是单调函数，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，－]∪ []，＋∞) B．[－]，]] C．(－∞，－])∪ (]，＋∞) D．(－]，]) 3．函数f(x)＝x3－ (2a＋1)x2＋(a2＋a)x＋4的单调减区间是________． 4．若函数f(x)＝(x2＋mx)ex的单调递减区间是[－，1]，则实数m的值为________． 　课堂探究·素养提升——强化创新性 　求含参数的函数的单调区间 例1　讨论函数f(x)＝ax2＋x－(a＋1)ln x(a≥0)的单调性． 方法归纳 1．研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论． 2．划分函数的单调区间时，要在函数的定义域内讨论，还要确定导数为0的点和函数的间断点 ．跟踪训练1　求函数f(x)＝＋a ln x(a∈R)的单调递减区间． 　已知函数的单调性求参数的取值范围 【思考探究】 1．已知函数f(x)＝x3－ax－1为单调递增函数，如何求实数a的取值范围． [提示]　由已知得f′(x)＝3x2－a， 因为f(x)在(－∞，＋∞)上是单调增函数， 所以f′(x)＝3x2－a＞0在(－∞，＋∞)上恒成立， 即a＜3x2对x∈R恒成立，因为3x2≥0，所以只需a＜0. 又因为a＝0时，f′(x)＝3x2≥0， f(x)＝x3－1在R上是增函数，所以a≤0. 2．若函数f(x)＝x3－ax－1的单调递减区间为(－1，1)，如何求a的取值范围． [提示]　由f′(x)＝3x2－a， ①当a≤0时，f′(x)≥0， ∴f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数． ②当a＞0时，令3x2－a＝0，得x＝±， 当－＜x＜时，f′(x)＜0. ∴f(x)在(－，)上为减函数， ∴f(x)的单调递减区间为(－，)， ∴＝1，即a＝3. 例2　已知关于x的函数y＝x3－ax＋b. (1)若函数y＝x3－ax＋b在(1，＋∞)内是增函数，求a的取值范围； (2)若函数y＝x3－ax＋b的一个单调递增区间为(1，＋∞)，求a的值． 状元随笔　(1)函数在区间(1，＋∞)内是增函数，则必有y ′≥0在(1，＋∞)上恒成立，由此即可求出a的取值范围． (2)函数y的一个单调递增区间为(1，＋∞)，即函数单调区间的端点值为1，由此可解得a的值． 方法归纳 1．已知f(x)在区间(a，b)上的单调性，求参数范围的方法 (1)利用集合的包含关系处理f(x)在(a，b)上单调递增(减)的问题，则区间(a，b)是相应单调区间的子集； (2)利用不等式的恒成立处理．可导函数f(x)在(a，b)上单调递增(或单调递减)的充要条件是f′(x)≥0(或f′(x)≤0)在(a，b)上恒成立，且f′(x)在(a，b)的任何子区间内都不恒等于0，利用分离参数或函数性质解出参数的取值范围(一般可用不等式恒成立的理论求解)，应注意参数的取值是f′(x)不恒等于0的参数的范围，然后检验参数取“＝”时是否满足题意． 2．若函数y＝f(x)在区间(a，b)上不单调，则转化为f′(x)＝0在(a，b)上有解(需验证解的两侧导数是否异号)． 跟踪训练2　(1)函数y＝x3＋x2＋mx＋2是R上的单调函数，则m的取值范围是(　　) A．(－∞，1) B．(－∞，1] C．(1，＋∞) D．[1，＋∞) (2)若函数y＝x3－ax＋b在(1，＋∞)上不单调，求a的取值范围． 　利用导数证明不等式 例3　证明ex≥x＋1≥sin x＋1(x≥0)． 方法归纳 用导数证明不等式f(x)>g(x)的一般步骤 (1)构造函数F(x)＝f(x)－g(x)，x∈[a，b]. (2)证明F′(x)＝f′(x)－g′(x)≥0，且F(a)>0. (3)依(2)知函数F(x)＝f(x)－g(x)在[a，b]上是单调增函数，故f(x)－g(x)>0，即f(x)>g(x)．这是因为F(x)≥F(a)>0，即f(x)－g(x)≥f(a)－g(a)>0. 跟踪训练3　证明不等式ln x≤x－1. 教材反思 1．牢记利用导数法解决取值范围问题的2个基本思路 (1)将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题，即f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立，再利用分离参数或函数性质求解参数范围，然后检验