6.2.1导数与函数的单调性第1课时学案-2023-2024学年高二下学期数学人教B版（2019）选择性必修第三册

6．2.1　导数与函数的单调性 第1课时　导数与函数的单调性 1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系； 2．能利用导数研究函数的单调性；对于多项式函数，能求不超过三次的多项式函数的单调区间． 新知初探·自主学习——突出基础性 教 材 要 点 知识点一　用函数的导数判定函数单调性的法则 (1)如果在(a，b)内，________，则f(x)在此区间是增函数，(a，b)为f(x)的单调增区间； (2)如果在(a，b)内，________，则f(x)在此区间是减函数，(a，b)为f(x)的单调减区间． 知识点二　一般地，在区间(a，b)内函数的单调性与导数有如下关系 函数的单调性 导数 单调递增 ________ 单调递减 ________ 常函数 ________ 基 础 自 测 1.函数y＝f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f′(x)的图象可能是(　　) 2.已知函数f(x)＝＋ln x，则有(　　) A．f(2)＜f(e)＜f(3) B．f(e)＜f(2)＜f(3) C．f(3)＜f(e)＜f(2) D．f(e)＜f(3)＜f(2) 3.函数y＝f(x)的图象如图所示，则(　　) A．f′(3)>0 B．f′(3)<0 C．f′(3)＝0 D．f′(3)的正负不确定 4.已知函数f(x)＝x2－x，则f(x)的单调递增区间为________． 课堂探究·素养提升——强化创新性 函数单调性与导数的正负的关系——函数图象与导函数图象的关系 例1　(1)函数y＝f(x)的图象如图所示，给出以下说法： ①函数y＝f(x)的定义域是[－1，5]； ②函数y＝f(x)的值域是(－∞，0]∪ [2，4]； ③函数y＝f(x)在定义域内是增函数； ④函数y＝f(x)在定义域内的导数f′(x)>0. 其中正确的序号是(　　) A．①② B．①③ C．②③ D．②④ (2)设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f′(x)的图象可能为(　　) (3)已知函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)的图象只可能是所给选项中的(　　) 状元随笔　研究一个函数的图象与其导函数图象之间的关系时，注意抓住各自的关键要素，对于原函数，要注意其图象在哪个区间内单调递增，在哪个区间内单调递减；而对于导函数，则应注意其函数值在哪个区间内大于零，在哪个区间内小于零，并分析这些区间与原函数的单调区间是否一致． 方法归纳 1．利用导数判断函数的单调性比利用函数单调性的定义简单的多，只需判断导数在该区间内的正负即可． 2．通过图象研究函数单调性的方法 (1)观察原函数的图象重在找出“上升”“下降”产生变化的点，分析函数值的变化趋势； (2)观察导函数的图象重在找出导函数图象与x轴的交点，分析导数的正负． 跟踪训练1　(1)函数y＝f(x)的图象如图所示，则其导函数y＝f′(x)的图象可能是(　　) (2)函数y＝f(x)在定义域R上可导，其导函数的图象如图所示，则函数y＝f(x)的单调递增区间为________________． (3)已知f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，那么f(x)的图象最有可能是图中的(　　) 　利用导数求函数的单调区间 例2　(1)求函数f(x)＝2x3－9x2＋12x＋1的单调减区间． (2)求函数f(x)＝x＋(a≠0)的单调区间． (3)求函数f(x)＝sin x－x(0<x<π)的单调区间． 状元随笔　求出导数f ′(x)，分a＞0和a＜0两种情况．由f ′(x)＞0求得单调增区间，由f ′(x)＜0求得单调减区间． 方法归纳 利用导数求函数单调区间的步骤 1．确定函数f(x)的定义域． 2．求导数f′(x)． 3．由f′(x)>0(或f′(x)<0)，解出相应的x的范围．当f′(x)>0时，f(x)在相应的区间上是增函数；当f′(x)<0时，f(x)在相应区间上是减函数． 4．结合定义域写出单调区间． 跟踪训练2　(1)函数f(x)＝ex－ex，x∈R的单调递增区间为(　　) A．(0，＋∞) B．(－∞，0) C．(－∞，1) D．(1，＋∞) (2)函数f(x)＝ln x－x的单调递增区间是(　　) A．(－∞，1) B．(0，1) C．(0，＋∞) D．(1，＋∞) 　判断函数的单调性 例3　利用导数判断下列函数的单调性： (1)f(x)＝x3－x2＋2x－5； (2)f(x)＝x－－ln x； (3)f(x)＝x－ex(x>0)． 方法归纳 利用导数判断函数单调性的步骤：确定函数的定义域；求导数f′(x)；确定f′(x)在定义域内的符号，在此过程中，需要对导函数进行通分、因式分解等变形；得出结