6.1.1函数的平均变化率学案-2023-2024学年高二下学期数学人教B版（2019）选择性必修第三册

6.1　导数 6．1.1　函数的平均变化率 通过实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程． 新知初探·自主学习——突出基础性 教 材 要 点 知识点一　函数的平均变化率 函数的平均变化率的定义 一般地，已知函数y＝f(x)，x1，x2是其定义域内不同的两点，记Δx＝x2－x1，Δy＝y2－y1＝f(x2)－f(x1)＝f(x1＋Δx)－f(x1)， 则当Δx≠0时，商________＝ 称作函数y＝f(x)在区间[x1，x2](或[x2，x1])的平均变化率． 知识点二　函数的平均变化率的几何意义即割线 的斜率 已知y＝f(x)图象上两点A(x1，f(x1))，B(x1＋Δx，f(x1＋Δx))，过A，B两点割线的斜率是________________，即曲线割线的斜率就是函数的平均变化率． 知识点三　函数的平均变化率的物理意义即平均 速度 物体在某段时间内的平均速度即函数的平均变化率． 　基 础 自 测 1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)Δx表示x2－x1，是相对于x1的一个增量，Δx的值可正可负，但不可为零．(　　) (2)Δy表示f(x2)－f(x1)，Δy的值可正可负，也可以为零．(　　) (3)表示曲线y＝f(x)上两点(x1，f(x1))，(x2，f(x2))连线的斜率．(　　) (4)平均速度是刻画某函数在区间[x1，x2]上的变化快慢的物理量．(　　) 2．已知函数y＝f(x)＝2x2的图象上点P(1，2)及邻近点Q(1＋Δx，2＋Δy)，则割线PQ的斜率为(　　) A．4 B．4x C．4＋2Δx2D．4＋2Δx 3．如图，函数y＝f(x)在[1，3]上的平均变化率为(　　) A．1 B．－1 C．2 D．－2 4．如果质点M按规律s＝3＋t2(s的单位是m，t的单位是s)运动，则在时间段[2，2.1]内质点M的平均速度等于(　　) A．3 m/sB．4 m/s C．4.1 m/sD．0.41 m/s 课堂探究·素养提升——强化创新性 　 　求函数的平均变化率 例1　(1)已知函数f(x)＝2x2－1的图象上一点(1，1)及邻近一点(1＋Δx，1＋Δy)，则＝(　　) A．4 B．4x C．4＋2ΔxD．4＋2(Δx)2 (2)已知函数f(x)＝x＋，分别计算f(x)在自变量x从1变到2和从3变到5时的平均变化率，并判断在哪个区间上函数值变化得较快． 状元随笔　(1)由Δy＝f(x＋Δx)－f(x)＝f(1＋Δx)－f(1)可得． (2) 方法归纳 1．求函数平均变化率的三个步骤 第一步，求自变量的增量Δx＝x2－x1； 第二步，求函数值的增量Δy＝f(x2)－f(x1)； 第三步，求平均变化率＝. 2．求平均变化率的一个关注点 求点x1附近的平均变化率，可用 的形式． 跟踪训练1　函数y＝x2＋1在[1，1＋Δx]上的平均变化率是(　　) A．2 B．2x C．2＋Δx D．2＋(Δx)2 　求物体在某段时间内的平均速度 例2　质点运动规律s＝gt2，则在时间区间(3，3＋Δt)内的平均速度等于________．(g＝10 m/s2) 方法归纳 求运动物体平均速度的两个步骤 1．求时间改变量Δt和位移改变量Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)； 2．求平均速度＝. 跟踪训练2　一质点按运动方程s(t)＝作直线运动，则其从t1＝1到t2＝2的平均速度为(　　) A．－1 B．－ C．－2 D．2 　平均变化率的几何意义 例3　已知曲线y＝x2－1上两点A(2，3)，B(2＋Δx，3＋Δy)，当Δx＝1时，割线AB的斜率是________；当Δx＝0.1时，割线AB的斜率是________． , 方法归纳 已知y＝f(x)图象上两点A(x1，f(x1))，B(x1＋Δx，f(x1＋Δx))，过A，B两点割线的斜率是＝，即曲线割线的斜率就是函数的平均变化率． 跟踪训练3　已知函数y＝x2－1的图象上一点A(3，8)及邻近一点B(3＋Δx，8＋Δy)，则割线AB的斜率等于(　　) A．6 B．6＋Δx C．6＋(Δx)2 D．6x 　以直代曲 例4　 刘徽是我国魏晋时期杰出的数学家，他采用了以直代曲、无限趋近、内夹外逼的思想，创立了割圆术，如图是半径为1尺的圆内接正六边形，若用该正六边形的面积近似代替圆的面积，则该圆的面积的近似值为________． 方法归纳 以直代曲思想用来研究函数的局部性质，重在体会“无限逼近”“量变到质变”“近似与精确”的思想． 跟踪训练4　已知函数f(x)的部分图象如图所示．若把曲线AB近似地看成线段，则图中阴影部分的面积近似为________． 6．1.1　函数的平均变化率 新知初探·自主学习 [教材要