4.3.1 一元线性回归模型-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义教师用书（人教B版2019）

4．3　统计模型 4．3.1　一元线性回归模型 [课标解读]1.了解变量间的相关关系，会画散点图，并会利用散点图判断两个变量之间是否具有相关关系.2.了解线性回归思想，会求回归直线方程.3.能利用相关系数r判断两个变量线性相关程度的大小，从而判断回归直线方程拟合的效果． 知识点一　变量的相关关系 1．相关关系的概念：我们所研究的很多问题中，两个变量之间经常存在着相互影响、相互依赖的关系．这些关系常见的有两类：函数关系和相关关系． [概念辨析]　相关关系与函数关系的异同： 关系 异同点 函数关系 相关关系 相同点 两者均是两个变量之间的关系 不同点 是一种确定性关系 是一种非确定性关系 是一种因果关系 不一定是因果关系，也可能是伴随关系 是一种理想的关系 是更为一般的情况 2.散点图 (1)概念：一般地，如果收集到了变量x和变量y的n对数据(简称为成对数据)，如下表所示： 序号i 1 2 3 … n 变量x x1 x2 x3 … xn 变量y y1 y2 y3 … yn 则在平面直角坐标系xOy中描出点(xi，yi)，i＝1，2，3，…，n，就可以得到这n对数据的散点图． (2)作用：散点图展示了样本点散布的位置．根据散点图中点的分布趋势分析两个变量之间的关系，可直观地判断并得出结论． (1)散点图具有直观、简明的特点，我们可以根据散点图来判断两个变量有没有相关关系； (2)通过散点图不但可以判断测量值的大小、变动范围与整体趋势，还可以通过观察剔除异常数值，提高估计相关程度的准确性； (3)当所画的散点图的横坐标与纵坐标所对应的数据差距很大时，可在实际作图时，将横坐标与纵坐标取不同的单位长度，使画出的散点图形象、美观． 3．正相关与负相关 (1)从整体上看，当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也呈现增加的趋势，称这两个变量正相关，散点图如图(甲)所示； (2)从整体上看，当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值呈现减少的趋势，称这两个变量负相关，散点图如图(乙)所示． 4．线性相关与非线性相关： (1)线性相关：如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在一条直线附近，称这两个变量线性相关； (2)非线性相关：如果两个变量具有相关性，但不是线性相关，就称这两个变量非线性相关或曲线相关． 知识点二　回归直线方程 1．回归直线方程的概论 一般地，已知变量x与y的n对成对数据(xi，yi)，i＝1，2，3，…，n.任意给定一个一次函数y＝bx＋a，对每一个已知的xi，由直线方程可以得到一个估计值i＝bxi＋a，如果一次函数＝x＋能使(1－y1)2＋(2－y2)2＋…＋(n－yn)2＝(yi－i)2取得最小值，则y＝x＋称为y关于x的回归直线方程(对应的直线称为回归直线). 2．最小二乘法 上述求回归直线方程的过程中需使得平方和最小，所以其中涉及的方法称为最小二乘法． 可以证明，给定两个y与x的一组数据之后，回归直线方程＝x＋总是存在的，而且 ＝＝，＝－. 其中，称为回归系数．它实际上也就是回归直线方程的斜率．回归直线方程确定之后，就可用于预测． 需要注意的是，上述公式中，指的是x1，x2，x3，…，xn的平均数，即＝(x1＋x2＋…＋xn)＝i；类似地，是y1，y2，y3，…，yn的平均数，即＝i. (1)回归直线一定过点(，)； (2)y与x正相关的充要条件是>0；y与x负相关的充要条件是<0； (3)当x增大一个单位时，增大个单位，这就是回归系数的实际意义； (4)回归直线方程＝x＋中x的系数是，表示直线的斜率，注意与《选择性必修第一册》中的一次函数的关系式或直线方程y＝ax＋b进行区分． 知识点三　相关系数 1．概念：注意到现实生活中的数据，由于度量对象和单位的不同等，数值会有大有小，为了去除这些因素的影响，统计学里一般用 r＝ ＝来衡量y与x的线性相关性强弱，这里的r称为线性相关系数(简称为相关系数). 2．性质 (1)|r|≤1，且y与x正相关的充要条件是r>0，y与x负相关的充要条件是r<0. (2)|r|越小，说明两个变量之间的线性相关性越弱，也就是得出的回归直线方程越没有价值，即方程越不能反映真实的情况；|r|越大，说明两个变量之间的线性相关性越强，也就是得出的回归直线方程越有价值． (3)|r|＝1的充要条件是成对数据构成的点都在回归直线上． (1)样本的相关系数r可以定量地反映出变量间的相关程度，明确给出有无必要建立两变量间的回归方程； (2)|r|很小只是说明两个变量之间的线性相关程度弱，但不一定不相关． 3．相关系数与向量夹角的余弦 一般地，a＝(x1－，x2－，…，xn－)，b＝(y1－，y2－，…，yn－)都称为n