4.2.3 第1课时 二项分布-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义教师用书（人教B版2019）

4．2.3　二项分布与超几何分布 第1课时　二项分布 [课标解读]1.理解n次伯努利试验.2.理解二项分布.3.能利用二项分布解决一些简单的实际问题． 知识点一　n次独立重复试验 1．n次独立重复试验 在相同条件下重复n次伯努利试验时，人们总是约定这n次试验是相互独立的，此时这n次伯努利试验也常称为n次独立重复试验． 2．n次独立重复试验中事件A发生k次的概率 一般地，事件A在n次独立重复试验中发生k次，共有C种情形，由试验的独立性知“A在k次试验中发生，而在其余(n－k)次试验中不发生”的概率都是pk(1－p)n－k，所以由概率加法公式知，如果在一次试验中事件A发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为Pk(k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0，1，2，…，n). (1)上述公式必须在满足“独立重复试验”时才能运用； (2)使用公式时一定要明确该公式中各量表示的意义：n为独立重复试验的次数；p是在1次试验中事件A发生的概率；1－p是在1次试验中事件A不发生的概率；k是在n次独立重复试验中事件A发生的次数； (3)独立重复试验是相互独立事件的特例．一般地，有“恰好发生k次”“恰有k次发生”字样的问题，求概率时，用n次独立重复试验概率公式计算更简便． 知识点二　二项分布 　定义：一般地，如果一次伯努利试验中，出现“成功”的概率为p，记q＝1－p，且n次独立重复试验中出现“成功”的次数为X，则X的取值范围是{0，1，…k，…n}，而且P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，n. 因此X的分布列如下表所示． X 0 1 … k … n P Cp0qn Cp1qn－1 … Cpkqn－k … Cpnq0 注意到上述X的分布列第二行中的概率值都是二次展开式 (q＋p)n＝Cp0qn＋Cp1qn－1＋…＋Cpkqn－k＋…＋Cpnq0中对应项的值，因此称X服从参数为n，p的二项分布，记作X～B(n，p)． (1)二项分布是两点分布的一般形式，两点分布是一种特殊的二项分布，即n＝1的二项分布； (2)判断一个随机变量是否服从二项分布的关键在于它是否同时满足以下三个条件： ①对立性：在一次试验中，事件A发生与否必居其一． ②重复性：试验可以独立重复地进行，且每次试验事件A发生的概率都是同一常数p. ③X的取值从0到n，中间不间断． 由上可以发现，两点分布是一种特殊的二项分布，即n＝1时的二项分布，所以二项分布可以看成是两点分布的一般形式，二项分布中的每次试验的结果都服从两点分布． 1．下列随机变量X不服从二项分布的是(　　 ) A．投掷一枚均匀的骰子5次，X表示点数为6出现的次数 B．某射手射中目标的概率为p，设每次射击是相互独立的，X为从开始射击到击中目标所需要的射击次数 C．实力相等的甲、乙两选手进行了5局乒乓球比赛，X表示甲获胜的次数 D．某星期内，每次下载某网站数据被病毒感染的概率为0.3，X表示下载n次数据电脑被病毒感染的次数 B　[选项A，试验出现的结果只有两种：点数为6和点数不为6，且点数为6的概率在每一次试验中都为，每一次试验都是独立的，故随机变量X服从二项分布；选项B，虽然随机变量在每一次试验中的结果只有两种，每一次试验事件相互独立，且概率不发生变化，但随机变量的取值不确定，故随机变量X不服从二项分布；选项C，甲、乙的获胜率相等，进行5次比赛，相当于进行了5次独立重复试验，故X服从二项分布；选项D，由二项分布的定义，可知被感染次数X～B(n，0.3).] 2．任意抛掷三枚均匀硬币，恰有2枚正面朝上的概率为(　　 ) A． B． C． D． B　[抛一枚硬币，正面朝上的概率为，则抛三枚硬币，恰有2枚朝上的概率为P＝C×＝.] 3．某产品正品率为，次品率为，现对该产品进行测试，设第ξ次首次测到正品，则P(ξ＝3)＝(　　) A．C()2× B．C()2× C．()2× D．()2× C　[当ξ＝3时，说明第3次首次测到正品，则前2次测到的都是次品，所以P(ξ＝3)＝()2×.] 4．已知某品种的幼苗每株成活率为p，则栽种3株这种幼苗恰好成活2株的概率为(　　) A．p2 B．p2(1－p) C．Cp2 D．Cp2(1－p) D　[令X为栽种3株这种幼苗成活的株数， 则X～B(3，p)，故P(X＝2)＝Cp2(1－p).] 5．设随机变量X～B(2，p).若P(X≥1)＝，则p＝______． 解析：　∵随机变量服从X～B(2，P)， ∴P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－C(1－p)2＝，解得p＝. 答案：　 题型一　独立重复试验概率的求法 某气象站天气预报的准确率为80%，计算(结果保留到小数点后面