4.1.2 乘法公式与全概率公式-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义教师用书（人教B版2019）

4.1.2　乘法公式与全概率公式 [课标解读]1.理解并掌握乘法公式与全概率公式. 2.了解贝叶斯公式.3.能应用乘法公式与全概率公式计算具体情境下的概率． 知识点一　概率的乘法公式 概率的乘法公式：对任意两个事件A与B，若P(A)>0，则P(AB)＝P(A)P(B|A)． 乘法公式说明，根据事件A发生的概率，以及已知事件A发生的条件下事件B发生的概率，可以求出A与B同时发生的概率． 知识点二　全概率公式 　一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有B＝BA1＋BA2＋…＋BAn，且P(B)＝． 全概率公式的直观解释 已知事件B的发生有各种可能的情形Ai(i＝1，2，…，n且任意两种情形均互斥)，事件B发生的可能性，就是各种可能情形Ai发生的可能性与已知在Ai发生的条件下事件B发生的可能性的乘积之和．在实际问题中，由于随机事件的复杂性，有时很难直接求得事件B发生的概率，因此我们可以分析事件B发生的各种可能情形，化整为零地去分解事件B，然后借助于全概率公式间接求出事件B发生的概率． 知识点三　贝叶斯公式 　设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且1＞P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，P(B)>0，有 P(Ai|B)＝＝，i＝1，2，…，n. 对贝叶斯公式的理解 P(A)是根据历史数据发现，通常称为先验概率；获取了新信息后算出的概率P(A|B)，通常称为后验概率．贝叶斯公式指出的是，通过先验概率以及其他信息，可以算出后验概率．实际上，贝叶斯公式可以看成要根据事件发生的结果找原因，看看这一结果由各种可能原因导致的概率是多少． 1．已知事件A，B，且P(A)＝，P(B|A)＝，P(B|)＝，则P(B)等于(　　 ) A． B． C． D． C　[P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)＝×＋×＝.] 2．设甲乘汽车、火车前往某目的地的概率分别为0.6，0.4，汽车和火车正点到达目的地的概率分别为0.9，0.8.则甲正点到达目的地的概率为(　　 ) A．0.72 B．0.96 C．0.86 D．0.84 C　[设事件A表示甲正点到达目的地，事件B表示甲乘火车到达目的地，事件C表示甲乘汽车到达目的地，由题意知P(B)＝0.4，P(C)＝0.6，P(A|B)＝0.8，P(A|C)＝0.9. 由全概率公式得 P(A)＝P(B)P(A|B)＋P(C)P(A|C)＝0.4×0.8＋0.6×0.9＝0.32＋0.54＝0.86.] 3.一道考题有4个答案，要求学生将其中的一个正确答案选择出来．某考生知道正确答案的概率为，而乱猜正确的概率为.在乱猜时，4个答案都有机会被他选择，如果他答对了，则他确实知道正确答案的概率是(　　 ) A． B． C． D． B　[设A＝“考生答对”，B＝“考生知道正确答案”， 由全概率公式：P(A)＝P(B)P(A|B)＋P()P(A|)＝×1＋×＝. 又由贝叶斯公式：P(B|A)＝＝＝.] 4．采购员要购买10个一包的电器元件．他的采购方法是：从一包中随机抽查3个，如果这3个元件都是好的，他才买下这一包．假定含有4个次品的包数占30%，而其余包中各含有1个次品，则采购员拒绝购买的概率是________． 解析：　设A1表示取到的是含4个次品的一包，A2表示取到的是含1个次品的一包，B表示采购员拒绝购买．则A1，A2构成样本空间的一个划分，且P(A1)＝0.3，P(A2)＝0.7，又由古典概型计算知P(B|A1)＝1－＝，P(B|A2)＝1－＝，从而由全概率公式得到P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＝. 答案：　 5．对以往数据分析结果表明， 当机器调整得良好时， 产品的合格率为98%, 而当机器发生某种故障时， 其合格率为55%.每天早上机器开动时， 机器调整良好的概率为95%.则已知某日早上第一件产品是合格时， 机器调整得良好的概率约是________． 解析：　设事件A为“产品合格”，事件B为“机器调整良好”． P(A|B)＝0.98，P(A|)＝0.55，P(B)＝0.95，P()＝0.05， 所求的概率为P(B|A)＝ ≈0.97. 答案：　0.97 题型一　全概率公式及其应用 世卫组织就新型冠状病毒感染可能造成“持续人传人”．通俗点说就是A传B，B传C，C又传D等，这就是“持续人传人”，而A，B，C被称为第一代、第二代、第三代传播者．假设一个身体健康的人被第一代、第二代、第三代传播者感染的概率分别为0.95，0.9，0.85，健康的小明参加了一次多人宴会，事后知道，参加宴